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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Di 03.05.2005 | | Autor: | lumpi |
Hallo ihr lieben!
Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:
Bestimme denjenigen Punkt auf der Kugeloberfläche [mm] x^{2}+ y^{2}+ z^{2}=1, [/mm] die vom Punkt (1,1,1) den kleinsten bzw größten abstand haben!
Ich weiß irgendwie nicht wirklich wie ich ansetzen soll! Hab versucht eien allgemeine Punktform für einen Punkt auf einer Kugel aufzustellen, aber das ist irre kompliziert!Ich wollte [mm] x^{2}+ y^{2}+ z^{2}=1 [/mm] dann als nebenbedingung ansehn! da ich aber keine funktion gegeben habe komme ich auch hiermit nicht weiter! Hat einer von euch eine Idee?
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Hallo!
Habt ihr schon die Lagrange-Multiplikatormethode durchgenommen?
Dein Problem lässt sich schreiben als
[mm] $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\to \min [/mm] / [mm] \max [/mm] $
mit [mm] $x^2+y^2+z^2=1$....
[/mm]
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Fr 06.05.2005 | | Autor: | lumpi |
hallo!
Danke für die schnelle antwort!Mit Langrange Multiplikatoren haben wir kaum was gemacht, deshalb fehlt mir schlicht und einfach die Übung!Aus dem Grund kann ich bis jetzt auch nicht wirklich viel anfangen mit deinem Tipp :-(! Aber ich werd mir das morgen nochmal angucken und hoffe mich bei fragen an euch wenden zu können!
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Hallo Lumpi (kenn ich Dich nicht vom Nachbarn?  ),
die Verbindung zwischen den Punkten extremaler Entfernung zu (1,1,1) mit (1,1,1) selbst muss doch senkrecht auf der Kugeloberfläche stehen - also in Richtung des Raduis verlaufen. Also müssen die gesuchten [mm] $(x_0,y_0,z_0)$ [/mm] alle gleich sein (da ja auch die Koordinaten von (1,1,1) alle gleich sind).
Nun müssen sie auch noch auf der Kugeloberfläche liegen; also [mm] $3\,x_0^2=1$.
[/mm]
Grüße,
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Mi 04.05.2005 | | Autor: | merry568 |
Auf die gleiche Lösung kommt man, wenn man annimmt, dass für jeden Punkt [mm] $x\neq [/mm] 0$ [mm] $P(x):=\frac{x}{|x|}\in S^n$ [/mm] der Punkt der Kugeloberfläche ist, der von $x$ den geringsten Abstand hat. Die Argumentation ist natürlich die gleiche wie bei dir, $x-P(x)$ muss senkrecht auf der Einheitssphäre stehen.
Also einfach [mm] $\frac{x}{|x|}$ [/mm] berechnen.
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