absolute stetigkeit < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Mo 30.06.2008 | | Autor: | kringel |
Hallöchen
Ich betrachte eine strikt monotone, differenzierbare Funktion [mm] f:[0,1]\rightarrow[0,1] [/mm] .
Frage jetzt: Ist diese absolut stetig?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Mo 30.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Wo sind eigene Ansätze ?
Wie lautet die Def. von "absolutstetig" ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mo 30.06.2008 | | Autor: | kringel |
Eine Funktion heißt eine auf einem Intervall I definierte reellwertige Funktion f absolut stetig, falls für jede Zahl [mm] \varepsilon>0 [/mm] eine Zahl [mm] \delta>0 [/mm] existiert, welche klein genug ist, so dass für jede Folge paarweise disjunkter Intervalle [mm] \left[x_k,y_k\right],\ [/mm] k= [mm] 1,\ldots,n, [/mm] die in I enthalten sind und der Bedingung
[mm] \sum_{k=1}^n(y_k-x_k)<\delta
[/mm]
genügen, die folgende Beziehung gilt:
[mm] \sum_{k=1}^n\left|f(y_k)-f(x_k)\right|<\varepsilon.
[/mm]
Nun, ich meine gelesen zu haben, dass eine Funktion absolut stetig ist if and only if die Funktion stetig ist, bounded variation hat und Nullmengen auf Nullmengen abbildet. (Stimmt das? Referenz?). Das erste ist erfüllt, da die Funktion differenzierbar ist. Das zweite ist erfüllt, da sie monoton wachsend auf beschränktes Intervall ist. Bleibt noch das dritte. Habe eigentlich das "Gefühl", dass eine strikt wachsende Funktion Nullmengen (bzgl. Lebesquemass) auf Nullmengen abildet. Aber eben, Gefühle sind in der Mathematik häufig falsch...
Ich danke für weitere Hilfen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Mo 30.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Eine Funktion heißt eine auf einem Intervall I definierte
> reellwertige Funktion f absolut stetig, falls für jede Zahl
> [mm]\varepsilon>0[/mm] eine Zahl [mm]\delta>0[/mm] existiert, welche klein
> genug ist, so dass für jede Folge paarweise disjunkter
> Intervalle [mm]\left[x_k,y_k\right],\[/mm] k= [mm]1,\ldots,n,[/mm] die in I
> enthalten sind und der Bedingung
>
> [mm]\sum_{k=1}^n(y_k-x_k)<\delta[/mm]
>
> genügen, die folgende Beziehung gilt:
>
> [mm]\sum_{k=1}^n\left|f(y_k)-f(x_k)\right|<\varepsilon.[/mm]
>
Du kannst ja versuchen es direkt zu beweisen. Du hast sehr viel gegeben. Deine Funktion ist glm. stetig, lokal Lipschitzstetig und die Intervalllängen können aufsummiert maximal 1 ergeben. Wegen der Differenzierbarkeit kannste die Sekantensteigungen mit Hilfe des MWS angeben. Ausserdem ist sie strikt monoton, also bijektiv (da stetig). Vielleicht hilft dir das alles weiter auf der Suche nach einer Lösung.
> Nun, ich meine gelesen zu haben, dass eine Funktion absolut
> stetig ist if and only if die Funktion stetig ist, bounded
> variation hat und Nullmengen auf Nullmengen abbildet.
> (Stimmt das? Referenz?). Das erste ist erfüllt, da die
> Funktion differenzierbar ist. Das zweite ist erfüllt, da
> sie monoton wachsend auf beschränktes Intervall ist. Bleibt
> noch das dritte. Habe eigentlich das "Gefühl", dass eine
> strikt wachsende Funktion Nullmengen (bzgl. Lebesquemass)
> auf Nullmengen abildet. Aber eben, Gefühle sind in der
> Mathematik häufig falsch...
Wenn eine Funktion lokal Lipschitzstetig ist, dann bildet sie Nullmengen auf Nullmengen ab. Das gilt für normale Stetigkeit nicht. Man kann Homöomorphismen konstruieren, die Nullmengen -nicht- auf Nullmengen abbilden. Aber da ja deine Funktion diffbar ist, ist sie natürlich insbesondere auch lokal L-stetig.
Es wäre aber trotzdem schöner, wenn du einen eigenen Beweis hättest, und nicht einfach einen Satz aus dem Netz nachprüfst (der ja möglicherweise sogar falsch ist, wenn du die Quelle nicht mehr weisst) ^^
> Ich danke für weitere Hilfen...
|
|
|
|
