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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Sa 06.10.2007 | | Autor: | noxia |
| Aufgabe | | Die Punkte O (0/0), P (5/0), Q(5/f(5), R (u/f(u)) und S (0/f(0)) des Graphen von f mit f(x)= [mm] -0,05x^{3} [/mm] + x + 4; 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5 bilden ein Fünfeck. Für welches u wird sein Inhalt maximal? |
Ich übe gerade für die Matheklausur nächste Woche. Die Aufgabe hatten wir vor kurzem als Hausaufgabe auf und ich hab sie auch hingekriegt. Es kommt u= [mm] \wurzel{\bruch{25}{3}} [/mm] ( oder u= - [mm] \wurzel{\bruch{25}{3}} [/mm] ) raus.
Nur hat der Lehrer dann beim Besprechen in der Schule das Ergebnis auf Absolutheit geprüft. Er hat dafür [mm] \wurzel{\bruch{25}{3}} [/mm] und die Randwerte 0 und 5 in die Funktion eingesetzt und geschaut, welches Ergebnis das größte ist. Bei A(0) und A(5) kam 16,875 und bei A( [mm] \wurzel{\bruch{25}{3}} [/mm] ) kam 22,889... als Flächeninhalt raus. Deshalb ist [mm] \wurzel{\bruch{25}{3}} [/mm] das absolute Maximum.
Aber ich verstehe nicht, wieso man überhaupt die Randwerte überprüfen musste, weil doch eigentlich sowieso klar ist, dass u= [mm] \wurzel{\bruch{25}{3}} [/mm] das absolute Maximum ist, denn in unserem Intervall [0;5] gibt es doch nur ein Extremum, also mus es doch absolut sein. Ich verstehe allgemein nicht, wann man die Randwerte einsetzen muss. Wenn in der Aufgabenstellung statt "0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5" "0<x<5"gestanden hätte, hätte man sie dann nicht einsetzen müssen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Sa 06.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo noxia!
> Aber ich verstehe nicht, wieso man überhaupt die Randwerte
> überprüfen musste, weil doch eigentlich sowieso klar ist,
> dass u= [mm]\wurzel{\bruch{25}{3}}[/mm] das absolute Maximum ist,
> denn in unserem Intervall [0;5] gibt es doch nur ein
> Extremum, also mus es doch absolut sein.
Das ist ein Fehlschluss. Die Ränder können auch Extremwerte sein. Das liegt an der ![[]](/images/popup.gif) Definition eines Extremwertes, die sich immer auf das zugrunde gelegte Intervall I bezieht: ein Punkt [mm]x_0\in I[/mm] heisst globales Maximum, wenn für alle [mm]x\in I[/mm] gilt: [mm]f(x_0)\ge f(x)[/mm].
Ich habe dir ein Beispiel gemalt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Punkt E ist ein Maximum, dass man aus der Gleichung [mm]f'(x)=0[/mm] bestimmen kann. Es gibt keine weiteren Punkte mit waagrechter Tangente. Wenn man nach Extremwerten im Intervall [mm]-5\le x\le5[/mm] fragt, so siehst man aus dem Bild sofort, dass E ein relatives und C ein absolutes Maximum ist, denn der Funktionswert bei x=-5 ist größer als alle anderen Funktionswerte in diesem Intervall.
Wenn ich aber frage, welches die Maxima für beliebige reelle x, also [mm]x\in \IR[/mm] sind, so ist nur E ein Maximum und damit ein globales Maximum.
> Wenn in der Aufgabenstellung statt "0 $ [mm] \le [/mm] $ x $ [mm] \le [/mm] $ 5" "0<x<5"gestanden hätte, hätte man sie dann nicht einsetzen müssen?
Richtig, dann gehören die Randpunkte nicht mehr zum Intervall und können damit auch keine Extremwerte sein.
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Sa 06.10.2007 | | Autor: | noxia |
Danke für die Hilfe! Jetzt sehe ich, wieso das Maximum nicht absolut sein muss. Aber noch eine Frage: Welche Zahlen hätte man in dem Fall 0<x<5 als Randwerte einsetzen müssen? 4,99999 und 0, 000000001 oder so ähnlich?
Und wenn eine Funktion quadratisch ist, ist das lokale Extremum immer absolut, oder? Gibt es noch andere Fälle, wo das lokale Extremum immer absolut ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Sa 06.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Danke für die Hilfe! Jetzt sehe ich, wieso das Maximum
> nicht absolut sein muss. Aber noch eine Frage: Welche
> Zahlen hätte man in dem Fall 0<x<5 als Randwerte einsetzen
> müssen? 4,99999 und 0, 000000001 oder so ähnlich?
Nein, in diesem Fall müßtest du korrekterweise den Grenzwert für x --> 0 bzw. x --> 5 untersuchen.
> Und wenn eine Funktion quadratisch ist, ist das lokale
> Extremum immer absolut, oder?
Das ist nur wahr, wenn das lokale Extremum auch in dem zu untersuchenden Intervall liegt.
> Gibt es noch andere Fälle, wo das lokale Extremum immer absolut ist?
Sicher, viele...
ZB wenn nur ein Extremum überhaupt existiert und dieses auch im zu untersuchenden Bereich liegt und die Funktion dort keine Def.-Lücken hat.
Aber es bringt dir nichts, über so etwas nachzudenken. Gewöhn dich einfach daran, immer die Randstellen des Definitionsbereichs mit zu untersuchen.
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