(absolut) konvergente Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Sa 21.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] (-1)^(n-1) [mm] \bruch{2n+1}{n(n+1)}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2n-1}{(\wurzel{2})^n} [/mm] |
Hallo;
bevor ich anfange wollte ich fragen, ob mir jemand sagen kann, wo die verschieden Kriterien mal kurz erläutert werden.
Ich habe das irgendwie nicht so richtig verstanden (weder wie man sie verwenden muss noch wie man erkennt, welche man verwenden muss)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \bruch{2n+1}{n(n+1)}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2n-1}{(\wurzel{2})^n}[/mm]
>
> Hallo;
>
> bevor ich anfange wollte ich fragen, ob mir jemand sagen
> kann, wo die verschieden Kriterien mal kurz erläutert
> werden.
Hier im Forum gibt's eine Übersicht.
> Ich habe das irgendwie nicht so richtig verstanden (weder
> wie man sie verwenden muss noch wie man erkennt, welche man
> verwenden muss)
Das lässt sich leider nicht so einfach sagen. (Mit ging es auch einmal so wie dir; irgendwann lernt man, damit umzugehen.) Aber es gibt ein paar Faustregeln:
1. Alternierende Reihe. Hier ist das Leibnizkriterium die Methode der Wahl.
2. Die einzelnen Reihenglieder sind Potenzen mit dem Reihenindex im Exponent: Hier hilft häufig das Wurzelkriterium, aber auch das Quotientenkriterium.
3. Es kommen Fakultäten des Reihenindex vor: Oft funktioniert das Quotientenkriterium
Diese Regeln funktionieren nicht immer; manchmal muss man einfach mehrere Kriterien durchprobieren
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Sa 21.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
danke erstmal für deine Antwort, deine Tipps haben mich schonmal ein Stück näher gebracht.
Jetzt versuch ich die einzelnen Kriterien mal zu verstehen.
Ich habe mit dem Leibniz-Kriterium angefangen.
Also ich habe es so verstanden das man zwei Kriterien braucht:
1: der Grenzwert muss Null sein
2: es muss eine monoton fallende Folge sein
stimmt das?????
dann hab ich mir mal ein Beispiel dazu angeschaut
![[]](/images/popup.gif) http://www.tech-nick-blog.de/wp-content/uploads/2007/05/leibn.pdf
ich verstehe nicht, warum die letzte Zeile die monotonie zeigt :S
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Melisa!
> Hallo;
>
> danke erstmal für deine Antwort, deine Tipps haben mich
> schonmal ein Stück näher gebracht.
> Jetzt versuch ich die einzelnen Kriterien mal zu
> verstehen.
> Ich habe mit dem Leibniz-Kriterium angefangen.
> Also ich habe es so verstanden das man zwei Kriterien
> braucht:
> 1: der Grenzwert muss Null sein
> 2: es muss eine monoton fallende Folge sein
> stimmt das?????
>
> dann hab ich mir mal ein Beispiel dazu angeschaut
>
> http://www.tech-nick-blog.de/wp-content/uploads/2007/05/leibn.pdf
>
> ich verstehe nicht, warum die letzte Zeile die monotonie
> zeigt :S
Das ist ein bischen knapp dargestellt. Wenn du den Kehrwert dieser letzten Zeile bildest, wird aus
[mm] \bruch{1}{4*n^2 + 9*(-1)^{n+1}} > \bruch{1}{4*(n^2+2n*1) + 9*(-1)^{n+2}} [/mm]
die Ungleichung
[mm] 4*n^2 + 9*(-1)^{n+1} < 4*(n^2+2n*1) + 9*(-1)^{n+2} [/mm]
Jetzt noch [mm] $4n^2$ [/mm] auf beiden Seiten subtrahiert und ein Faktor $(-1)$ aus der Potenz ganz rechts rausgezogen, und da steht
[mm] 9*(-1)^{n+1} < 8n+4 - 9*(-1)^{n+1} [/mm]
oder
[mm] 2* 9*(-1)^{n+1} < 8n+4 [/mm].
Die linke Seite ist $+18$ für ungerade n und $-18$ für gerades n und daher für alle [mm] $n\ge [/mm] 1$ erfüllt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Sa 21.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
danke jetzt verstehe ich es auch. Stimmt auch
> Also ich habe es so verstanden das man zwei Kriterien
> braucht:
> 1: der Grenzwert muss Null sein
> 2: es muss eine monoton fallende Folge sein
> stimmt das?????
????
Dann als nächstes das cauchykriterium
stimmt es, dass eine Reihe dann konvergent ist, wenn seine Partialsummenfolge eine Cauchy folge ist?
Wenn ja dann hab ich das mit der Cauchy folge einigermaßen verstanden, dass Problem ist nur die Anwendung. Kennt jemand vielleicht ein Beispiel wo die Konvergenz einer Reihe mit dem Cauchykriterium bewiesen wird?
Ich bedanke mich im voraus
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Melisa!
> Hallo;
>
> danke jetzt verstehe ich es auch. Stimmt auch
>
> > Also ich habe es so verstanden das man zwei Kriterien
> > braucht:
> > 1: der Grenzwert muss Null sein
> > 2: es muss eine monoton fallende Folge sein
> > stimmt das?????
> ????
Im Prinzip ja. Ich würde es so formulieren:
1. Es muss eine alternierende Reihe sein.
2. Die Folge der einzelnen Glieder muss eine Nullfolge sein.
3. Die Folge ihrer Beträge [mm] $|a_n|$ [/mm] muss monoton fallen.
> Dann als nächstes das cauchykriterium
>
> stimmt es, dass eine Reihe dann konvergent ist, wenn seine
> Partialsummenfolge eine Cauchy folge ist?
Genau.
> Wenn ja dann hab ich das mit der Cauchy folge einigermaßen
> verstanden, dass Problem ist nur die Anwendung. Kennt
> jemand vielleicht ein Beispiel wo die Konvergenz einer
> Reihe mit dem Cauchykriterium bewiesen wird?
Wie wäre es mit der Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} q^k [/mm], $0<q<1$ ?
Für das Cauchykriterium muss ich die Summe
[mm] \summe_{k=m}^{n} q^k [/mm]
berechnen. Da
[mm] \summe_{k=0}^{n} = \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm]
ist, gilt.
[mm] \summe_{k=m}^{n} q^k = \summe_{k=0}^{n}q^k - \summe_{k=0}^{m-1}q^k = \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} - \bruch{1-q^{m-1+1}}{1-q} = \bruch{q^m -q^{n+1}}{1-q} = \bruch{q^m}{1-q} (1-q^{n-m+1}) < \bruch{q^m}{1-q} [/mm]
und das wird beliebig klein, wenn m nur groß genug ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Sa 21.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
nun bin ich beim Majorantenkriterium
hier ist es ja so, dass man sich eine größere Reihe aussucht und wenn man zeigt, dass diese konvergent ist, zeigt man automatisch das die kleinere auch konvergent ist.
ich versteh nur nicht, nach was man sich diese größere konvergente Reihe aussucht
kann das eine x beliebige sein?
Und noch eine Frage: wir haben diese Kriterien verwendet, um zu zeigen, dass eine Reihe absolut konvergent ist. Jetzt lese ich überall, dass man sie verwendet um zu zeigen das sie konvergiert. Welches ist richtig???
Lg Melisa
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Hallo melisa,
> nun bin ich beim Majorantenkriterium
>
> hier ist es ja so, dass man sich eine größere Reihe
> aussucht und wenn man zeigt, dass diese konvergent ist,
> zeigt man automatisch das die kleinere auch konvergent ist.
Genau.
> ich versteh nur nicht, nach was man sich diese größere
> konvergente Reihe aussucht
>
> kann das eine x beliebige sein?
Naja - es sollte eben eine sein, wo man weiß, dass sie konvergiert. Dazu solltest du einfach bekannte (absolut) konvergente Reihen kennen, wie die
- geometrische Reihe [mm] \sum_{k=0}^{\infty}q^{k} [/mm] für $|q| < 1$
- Exponentialreihe [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!} [/mm] für beliebiges x!
- [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\alpha}} [/mm] für [mm] $\alpha [/mm] > 1$
Allerdings, die Konvergenz der meisten Reihen brauchst du nicht mit dem Majorantenkriterium abzuschätzen, du kannst oft die anderen Kriterien benutzen. Das Majorantenkriterium war nur besonders wichtig, um die anderen Kriterien zu beweisen. (Quotienten- und Wurzelkriterium folgen aus dem Majorantenkriterium, indem die unbekannte Reihe mit der geometrischen Reihe abgeschätzt wird! Daher kommt nämlich die "<1" bei den Kriterien her  )
> Und noch eine Frage: wir haben diese Kriterien verwendet,
> um zu zeigen, dass eine Reihe absolut konvergent ist. Jetzt
> lese ich überall, dass man sie verwendet um zu zeigen das
> sie konvergiert. Welches ist richtig???
Das kommt auf die Formulierung des Majorantenkriteriums drauf an. Wenn du siehst, dass alle [mm] a_{n} [/mm] der Reihe [mm] \sum_{k=1}^{\infty}a_{n} [/mm] , die du gern mit dem Majorantenkriterium abschätzen willst, größer null sind, folgt die absolute Konvergenz. Wenn du das nicht voraussetzt, so würde ich sagen, folgt nur "normale" Konvergenz.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Sa 21.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
sooo jz wieder zum Anfang :D
a) ich gucke als erstes, ob $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \bruch{2n+1}{n(n+1)} [/mm] $ konvergiert
wenn ich im Bruchteil n rauskürze, bleibt ja nur 1 übrig also betrachte ich nur [mm] -1^{n-1} [/mm] und das strebt ja zwischen 1 und -1 somit wäre das divergent und das heißt meine Überlegung ist falsch :S
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Hallo melisa,
> a) ich gucke als erstes, ob [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \bruch{2n+1}{n(n+1)}[/mm]
> konvergiert
>
> wenn ich im Bruchteil n rauskürze, bleibt ja nur 1 übrig
> also betrachte ich nur [mm]-1^{n-1}[/mm] und das strebt ja zwischen
> 1 und -1 somit wäre das divergent und das heißt meine
> Überlegung ist falsch :S
Ich weiß nicht genau, was für eine verbotene Sache du gerade machen wolltest (oder gedacht hast), aber ich hoffe es war nicht die Überlegung, dass du (2n+1) und $(n*(n+1)) = [mm] n^{2} [/mm] + n$ (!) miteinander kürzen könntest.
Wende das Leibniz-Kriterium an. Dass du dieses Kriterium benutzen kannst / sollst, solltest du sofort daran erkennen, dass du eine alternierende Reihe vorliegen hast, weil [mm] (-1)^{n} [/mm] darin vorkommt.
Nach dem Leibnizkriterium musst du nun zeigen, dass
[mm] \bruch{2n+1}{n*(n+1)}
[/mm]
eine Nullfolge ist, dann ist die obige Reihe konvergent.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Sa 21.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
nein ich wollte nur n ausklammern (hab mich falsch ausgedrückt mit rauskürzen) d.h.
[mm] \bruch{2+\bruch{1}{n}}{2} [/mm]
es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1 [/mm] da,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}=0
[/mm]
aber das darf nicht raus kommen ich mache wieder was falschhhh
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Hallo melisa,
> nein ich wollte nur n ausklammern (hab mich falsch
> ausgedrückt mit rauskürzen) d.h.
> [mm]\bruch{2+\bruch{1}{n}}{2}[/mm]
>
> es gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}1[/mm] da,
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}=0[/mm]
das ist zwar richtig,
ich verstehe aber nach wie vor nicht, wie du auf
[mm] $\bruch{2+\bruch{1}{n}}{2}$
[/mm]
kommst! Es ist doch
[mm] $\bruch{2n+1}{n*(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{2+\frac{1}{n}}{n+1}$,
[/mm]
und daraus folgere ich höchstens, dass es sich um eine Nullfolge handelt. Es ist NICHT
[mm] $\bruch{2n+1}{n*(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{2+\bruch{1}{n}}{2}$,
[/mm]
wie du an obiger Umformung unschwer erkennen kannst.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Sa 21.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ja ich wollte $ [mm] \bruch{2n+1}{n\cdot{}(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{2+\frac{1}{n}}{\bruch {n}{n}(\bruch{n}{n}+1} [/mm] $ was ja natürlich nicht geht :) schääämmmm
danke für deine hilfe
Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mo 23.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
hab noch einpaar Fragen:
warum lassen wir [mm] (-1)^{n-1} [/mm] weg? Weil es immer -1 und 1 ist und der Bruchteil 0??? Würden wir es auch weglassen, wenn der Bruchteil nicht 0 wäre? Wenn ja warum? Unser Übungsleiter hätte heute in seiner Sprechstunde gemeint, dass das eine divergente Reihe wäre. Das kann doch gar nicht sein, weil es eine Nullfolge ist. Da hat die Person, die es mir gesagt hat, was falsch verstanden oder? Divergent ist doch nur [mm] (-1)^{n-1}???
[/mm]
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand diese Fragen beantworten könnte.
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Es geht also um $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \bruch{2n+1}{n(n+1)} [/mm] $
Wir sind uns einig, dass [mm] \bruch{2n+1}{n(n+1)} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty
[/mm]
Weiter gilt: die Folge [mm] (\bruch{2n+1}{n(n+1)}) [/mm] ist monoton fallend.
Nach dem Leibnizkriterium ist obige Reihe konvergent.
> Hallo;
>
> hab noch einpaar Fragen:
>
> warum lassen wir [mm](-1)^{n-1}[/mm] weg? Weil es immer -1 und 1 ist
> und der Bruchteil 0??? Würden wir es auch weglassen, wenn
> der Bruchteil nicht 0 wäre? Wenn ja warum?
verstehe ich nicht
> Unser
> Übungsleiter hätte heute in seiner Sprechstunde gemeint,
> dass das eine divergente Reihe wäre. Das kann doch gar
> nicht sein, weil es eine Nullfolge ist. Da hat die Person,
> die es mir gesagt hat, was falsch verstanden oder?
> Divergent ist doch nur [mm](-1)^{n-1}???[/mm]
Drücke Dich bitte etwas klarer aus
FRED
>
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand diese Fragen
> beantworten könnte.
>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mo 23.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
> Es geht also um [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \bruch{2n+1}{n(n+1)}[/mm]
>
> Wir sind uns einig, dass [mm]\bruch{2n+1}{n(n+1)} \to[/mm] 0 für
> n [mm]\to \infty[/mm]
>
> Weiter gilt: die Folge [mm](\bruch{2n+1}{n(n+1)})[/mm] ist monoton
> fallend.
>
> Nach dem Leibnizkriterium ist obige Reihe konvergent.
>
>
> > Hallo;
> >
> > hab noch einpaar Fragen:
> >
> > warum lassen wir [mm](-1)^{n-1}[/mm] weg? Weil es immer -1 und 1 ist
> > und der Bruchteil 0??? Würden wir es auch weglassen, wenn
> > der Bruchteil nicht 0 wäre? Wenn ja warum?
>
> verstehe ich nicht
Meine Frage war, warum wir [mm] (-1)^{n-1} [/mm] nicht betrachten. Tun wir dies nicht, weil [mm]\bruch{2n+1}{n(n+1)} \to[/mm] 0 und etwas mal 0 ist ja 0 also hat [mm] (-1)^{n-1} [/mm] keine Bedeutung? Oder tun wir das aus einem anderen Grund?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo;
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> > Es geht also um [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \bruch{2n+1}{n(n+1)}[/mm]
>
> >
> > Wir sind uns einig, dass [mm]\bruch{2n+1}{n(n+1)} \to[/mm] 0 für
> > n [mm]\to \infty[/mm]
> >
> > Weiter gilt: die Folge [mm](\bruch{2n+1}{n(n+1)})[/mm] ist monoton
> > fallend.
> >
> > Nach dem Leibnizkriterium ist obige Reihe konvergent.
> >
> >
> > > Hallo;
> > >
> > > hab noch einpaar Fragen:
> > >
> > > warum lassen wir [mm](-1)^{n-1}[/mm] weg? Weil es immer -1 und 1 ist
> > > und der Bruchteil 0??? Würden wir es auch weglassen, wenn
> > > der Bruchteil nicht 0 wäre? Wenn ja warum?
> >
> > verstehe ich nicht
>
>
> Meine Frage war, warum wir [mm](-1)^{n-1}[/mm] nicht betrachten.
Das betrachten wir doch !! Wir wenden das Leibnizkriterium an !
Schreib dieses Kriterium mal hier rein, damit man sehen kann, ob Du es richtig wiedergeben kannst.
FRED
> Tun
> wir dies nicht, weil [mm]\bruch{2n+1}{n(n+1)} \to[/mm] 0 und etwas
> mal 0 ist ja 0 also hat [mm](-1)^{n-1}[/mm] keine Bedeutung? Oder
> tun wir das aus einem anderen Grund?
>
>
> Lg Melisa
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mo 23.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
Leibnizkriterium
1.Es muss eine alternierende Reihe sein.
2. Die Folge der einzelnen Glieder muss eine Nullfolge sein.
3. Die Folge ihrer Beträge muss monoton fallen
[mm] -1^{n-1} [/mm] zeigt, dass es eine alternierende Reihe ist und der Bruchtteil das eine Nullfolge ist. Stimmt meine Überlegung jetzt?
Lg Melisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo;
>
> Leibnizkriterium
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> 1.Es muss eine alternierende Reihe sein.
und deswegen kann man [mm] (-1)^n [/mm] nicht unterschlagen
> 2. Die Folge der einzelnen Glieder muss eine Nullfolge
> sein.
> 3. Die Folge ihrer Beträge muss monoton fallen
>
> [mm]-1^{n-1}[/mm] zeigt, dass es eine alternierende Reihe ist
Ja, schreib aber [mm](-1)^{n-1}[/mm]
> und
> der Bruchtteil das eine Nullfolge ist.
das hat mit [mm](-1)^{n-1}[/mm] nichts zu tun
FRED
> Stimmt meine
> Überlegung jetzt?
>
>
> Lg Melisa
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Mo 08.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
> Weiter gilt: die Folge [mm](\bruch{2n+1}{n(n+1)})[/mm] ist monoton
> fallend.
>
Ich versteh nicht warum dies monoton fallend ist. Auf dem Lösungsblatt steht
[mm] \bruch{2n+1}{n(n+1)}\le \bruch{3n}{n*n}
[/mm]
ok dadurch kann ich zwar erkennen, dass es fallend ist, aber woher haben wir jetzt [mm] \bruch{3n}{n*n}
[/mm]
Kann mir das jemand kurz erklären?
Lg Melisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Mo 08.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melisa!
Hier wurde in Zähler und Nenner abgeschätzt:
$$2n+1 \ [mm] \le [/mm] \ 3n$$
$$n*(n+1) \ = \ [mm] n^2+n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] n^2$$
[/mm]
Dadurch gilt für den Gesamtbruch:
[mm] $$\bruch{2n+1}{n*(n+4)} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{3n}{n^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mo 08.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
muss man, um die monotonie festzustellen immer abschätzen? Ich dachte
Eine Folge heißt (streng) monoton steigend, wenn an ≤ an+1 und (streng) monoton
fallend, wenn an ≥ an+1
aber in diesem Fall kommt bei mir dann
[mm] \bruch{2n+1}{n\cdot{}(n+1)}\ge \bruch{2n+3}{(n+1)(n+2)}
[/mm]
und das ist nicht richtig :S
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Hallo melisa,
> Hallo,
>
> muss man, um die monotonie festzustellen immer abschätzen?
Nein, natürlich nicht
> Ich dachte
> Eine Folge heißt (streng) monoton steigend, wenn an ≤
> an+1 und (streng) monoton
> fallend, wenn an ≥ an+1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> aber in diesem Fall kommt bei mir dann
>
> [mm]\bruch{2n+1}{n\cdot{}(n+1)}\ge \bruch{2n+3}{(n+1)(n+2)}[/mm]
>
> und das ist nicht richtig :S
Wieso das denn nicht?
Es ist [mm] $\frac{2n+1}{n(n+1)} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{2n+1}{n(n+1)}\cdot{}\frac{(n+1)(n+2)}{2n+3} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$
[mm] $\gdw \frac{(2n+1)(n+2)}{n(2n+3)} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$
[mm] $\gdw \frac{2n^2+5n+2}{2n^2+3n} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$
[mm] $\gdw 1+\frac{2n+2}{2n^2+3n} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$
[mm] $\gdw \frac{2n+2}{2n^2+3n} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
Und das ist offensichtlich wahr
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:56 Mo 08.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
eine grundsätzliche Frage, die möglicherweise bisschen blöd klingt, aber mich doch interessiert....
wann bietet es sich denn immer an eine Folge durch eine andere abzuschätzen? Mir ist klar, dass man darauf keine gezielte Antwort geben kann - es muss sich eben so anbieten ...
aber gibt es generell Fälle, wo es ratsam ist, zu versuchen, etwas abzuschätzen? Bestimmte Situationen o.ä.?
Hoffe die Frage ist nicht sinnlos.
Gruß
ChopSuey
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Abschätzen will man nicht. Abschätzen muss man. Und das immer dann, wenn man (insbesondere abzählbar) viele Objekte hat, aber nicht besonders viel Symmetrie zur Verfügung steht.
Stell dir vor, du willst zum Beispiel den sogenannten Lyapunov Exponenten [mm]\lambda_\Phi(x,v)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\ln\|(D_x\Phi^n)v\|[/mm] bestimmen. Dabei ist [mm](D_x\Phi)v[/mm] die Richtungsableitung von [mm]\Phi:X\rightarrow X[/mm] in [mm]x\in X[/mm] ind Richtung [mm]v[/mm]. Jetzt können wir Kettenregel anwenden [mm]\lambda_\Phi(x,v)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\ln\|\produkt_{i=0}^{n-1}(D_{\Phi^{i}(x)}\Phi)v\|[/mm]. Wir haben hier ein Produkt über sehr viele Jacobi-Matrizen. Am ehesten hat man jetzt eine Chance, wenn man die Eigenwerte dieser Matrizen abschätzt.
Passt nicht ganz zum Thema, aber vielleicht hilfts ja beim Verständnis.
Gruß
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mo 23.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
da ich weiß, dass die Reihe konvergent ist, muss ich noch gucken ob sie absolut konvergent ist.
Dazu setzte ich [mm] a_{n}=|a_{n}|
[/mm]
d.h. [mm] |a_{n}|=|\bruch{2n+1}{n\cdot{}(n+1)}|
[/mm]
ab hier komme ich irgendwie nicht klar :S
das ist doch irgendwie klar, dass [mm] |\bruch{2n+1}{n\cdot{}(n+1)}| [/mm] konvergent ist, da wir das schon eben hatten (es ist eine Nullfolge) aber ich glaube, dass wir hier noch was machen müssen, um zu zeigen das es absolut konv. ist
Lg Melisa
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Hallo melisa1,
> da ich weiß, dass die Reihe konvergent ist, muss ich noch
> gucken ob sie absolut konvergent ist.
>
> Dazu setzte ich [mm]a_{n}=|a_{n}|[/mm]
>
> d.h. [mm]|a_{n}|=|\bruch{2n+1}{n\cdot{}(n+1)}|[/mm]
>
> ab hier komme ich irgendwie nicht klar :S
> das ist doch irgendwie klar, dass
> [mm]|\bruch{2n+1}{n\cdot{}(n+1)}|[/mm] konvergent ist, da wir das
> schon eben hatten (es ist eine Nullfolge) aber ich glaube,
> dass wir hier noch was machen müssen, um zu zeigen das es
> absolut konv. ist
Die Reihe ist nicht absolut konvergent. Das kannst du schon daran sehen, dass [mm] \bruch{2n+1}{n\cdot{}(n+1)} [/mm] dasselbe Wachstum hat wie die Funktion [mm] \frac{1}{n}, [/mm] also des Terms, der in der harmonischen Reihe steht (und die harmonische Reihe konvergiert nicht!).
Du brauchst nur abzuschätzen:
[mm] $\bruch{2n+1}{n\cdot{}(n+1)} [/mm] > [mm] \bruch{2n}{n\cdot{}(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{2}{n+1} \ge \frac{1}{n}$,
[/mm]
was zusammen mit dem Majoranten bzw. Minorantenkriterium der Konvergenz der Reihe schon den Gar aus macht.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 23.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
b) hier habe ich das Quotientenkriterium verwendet
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|\le [/mm] teta
[mm] |\bruch{\bruch{2n}{(\wurzel{2})^n+1}}{\bruch{2n-1}{(\wurzel{2})^n}}|=|\bruch{2n*(\wurzel{2})^n}{(\wurzel{2})^{n+1}*2n-1}|=\bruch{1}{\wurzel{2}}\le [/mm] teta
also [mm] 0<\bruch{1}{\wurzel{2}}<1
[/mm]
somit ist die Reihe absolut konvergent stimmt das???
Lg Melisa
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Hi Melisa,
> b) hier habe ich das Quotientenkriterium verwendet
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> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|\le[/mm] teta
>
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> [mm]|\bruch{\bruch{2n}{(\wurzel{2})^n+1}}{\bruch{2n-1}{(\wurzel{2})^n}}|=|\bruch{2n*(\wurzel{2})^n}{(\wurzel{2})^{n+1}*2n-1}|=\bruch{1}{\wurzel{2}}\le[/mm]
> teta
>
> also [mm]0<\bruch{1}{\wurzel{2}}<1[/mm]
>
> somit ist die Reihe absolut konvergent stimmt das???
Ich habe das auch so gemacht.
Ich denke, du solltest vielleicht noch zeigen, dass
$\ [mm] \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\wurzel{2}} \not= [/mm] 1 $, da der Grenzwert nicht beliebig nahe an $\ 1 $ rankommen darf.
In diesem Fall ist der Grenzwert $\ [mm] \not= [/mm] 1 $ und somit konvergiert die Reihe absolut.
>
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> Lg Melisa
Viele Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:30 Di 24.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> b) hier habe ich das Quotientenkriterium verwendet
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> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|\le[/mm] teta
>
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> [mm]|\bruch{\bruch{2n}{(\wurzel{2})^n+1}}{\bruch{2n-1}{(\wurzel{2})^n}}|=|\bruch{2n*(\wurzel{2})^n}{(\wurzel{2})^{n+1}*2n-1}|=\bruch{1}{\wurzel{2}}\le[/mm]
> teta
Das stimmt so nicht !
Richtig:
[mm]|\bruch{\bruch{2n}{(\wurzel{2})^n+1}}{\bruch{2n-1}{(\wurzel{2})^n}}|=|\bruch{2n*(\wurzel{2})^n}{(\wurzel{2})^{n+1}*2n-1}| \to \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] für (n [mm] \to \infty)
[/mm]
FRED
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> also [mm]0<\bruch{1}{\wurzel{2}}<1[/mm]
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> somit ist die Reihe absolut konvergent stimmt das???
>
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> Lg Melisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:33 Di 24.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
danke nochmal an alle, die mir geholfen haben (ich weiß war nicht einfach :D)
Lg Melisa
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