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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Sa 06.01.2007 | | Autor: | thary |
hey.. wie bilde ich die ableitung von
f(x)= [mm] (x^4-4x^2-1)/(x^4-2x^2+1)
[/mm]
unten nicht als binomische schreiben.. ichhabe nun die quotienregel benutzt und komme auf dieses ergebnis
f'(x)= [mm] ((4x^3-8x)*(x^4-2x^2+1)-((4x^3-4x)*(x^4-4x^2-1))/((x^4-2x^2+1)
[/mm]
[mm] f'(x)=(8x^3+4x^5-12x)/(x^4-2x^2+1)^2
[/mm]
rauskommen soll aber eine funktion, die oben die nullstelle x=0 und [mm] x^2=-3(also [/mm] keine weitere nullstelle haben soll) was mach ich falsch??
danke!
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> hey.. wie bilde ich die ableitung von
>
[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
> f(x)= [mm](x^4-4x^2-1)/(x^4-2x^2+1)[/mm]
>
> unten nicht als binomische schreiben.. ichhabe nun die
> quotienregel benutzt und komme auf dieses ergebnis
>
> f'(x)=
> [mm]((4x^3-8x)*(x^4-2x^2+1)-((4x^3-4x)*(x^4-4x^2-1))/((x^4-2x^2+1)[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Bis hierhin korrekt, außer dem fehlenden hoch 2 im Nenner.}$
[/mm]
>
> [mm]f'(x)=(8x^3+4x^5-12x)/(x^4-2x^2+1)^2[/mm]
>
[mm] $\rmfamily \text{Das Ergebnis ist richtig, konkret das Problem erkenne ich auch nicht. Aber siehst du, dass}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{der Nenner die 2. binomische Formel beinhaltet? Versuche mal, damit abzuleiten, dann kommst}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{du auf das richtige Ergebnis.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{komisch }$ [/mm] ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> rauskommen soll aber eine funktion, die oben die nullstelle
> x=0 und [mm]x^2=-3(also[/mm] keine weitere nullstelle haben soll)
> was mach ich falsch??
> danke!
[mm] $\rmfamily \text{Stefan.}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Sa 06.01.2007 | | Autor: | thary |
danke! ich dachte schon, ich wär blöd.. ja, das hab ich wohl vergessen hin zu schreiben.. also ich habe hier dieses stark buch für lks in mathe..und die haben das so gemacht mit der binomischen..klingt ja auch logisch, nur so muss es doch auch funktionieren.. denn da is ja nichts falsches bei..
versteh das nich..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:05 So 07.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
die ableitung ist ja soweit korrekt gebildet!
f'(x)= [mm] \bruch{4x^5 +8x^3 -12x}{(x^4-2x^2-1)^2}
[/mm]
Nullstellen der 1. Ableitung sind an den Stellen zu finden, an denen der Zähler null wird.
also setze ich
[mm] 0=4x^5 +8x^3 [/mm] -12x
[mm] 0=4x*(x^4 +2x^2 [/mm] -3)
1. Lösung [mm] x_{1}=0
[/mm]
substituiere [mm] x^2 [/mm] durch z also [mm] x^2=z
[/mm]
erhalte:
[mm] z^2 [/mm] +2z -3 =0
[mm] z_{1/2}= [/mm] - [mm] \bruch{2}{2} \pm \wurzel{1^2 +3}
[/mm]
[mm] z_{1}= [/mm] +1
[mm] z_{2}= [/mm] -3 => resub führt zu [mm] x^2 [/mm] = -3 => keine Lösungen in R
ist nun +1 eine weitere Lösung? Nein, weil der Nenner an der Stelle x=1
null werden würde, d.h. hier eine Def.-Lücke existiert.
also ist
x=0 die einzige Nullstelle der ersten Ableitung in R!!.
gruß
wolfgang
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Hallo,
ich glaube, die Ableitung ist falsch. Wenn man den Zähler als Binom schreibt, hat man
[mm] f(x)=\bruch{x^4-4x^2-1}{(x^2-1)^2}
[/mm]
Dann nach Quotienten- und Kettenregel:
[mm] f'(x)=\bruch{(4x^3-8x)(x^2-1)^2-(x^4-4x^2-1)2(x^2-1)2x}{(x^2-1)^4}
[/mm]
[mm] =\bruch{(4x^3-8x)(x^2-1)-(x^4-4x^2-1)4x}{(x^2-1)^3}
[/mm]
[mm] =\bruch{4x^3+12x}{(x^2-1)^3} [/mm] = [mm] \bruch{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}
[/mm]
Der Zähler hat also offensichtlich nur die gewünschte Nullstelle x=0
Gruß
schachuzipus
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> Hallo,
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> ich glaube, die Ableitung ist falsch. Wenn man den Zähler als Binom schreibt, hat man
> $ [mm] f(x)=\bruch{x^4-4x^2-1}{(x^2-1)^2} [/mm] $
>
> Dann nach Quotienten- und Kettenregel:
>
> $ [mm] f'(x)=\bruch{(4x^3-8x)(x^2-1)^2-(x^4-4x^2-1)2(x^2-1)2x}{(x^2-1)^4} [/mm] $
>
> $ [mm] =\bruch{(4x^3-8x)(x^2-1)-(x^4-4x^2-1)4x}{(x^2-1)^3} [/mm] $
>
> $ [mm] =\bruch{4x^3+12x}{(x^2-1)^3} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3} [/mm] $
>
> Der Zähler hat also offensichtlich nur die gewünschte Nullstelle x=0
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Lies mal weiter oben, dann siehst du, das die Korrekturmitteilung unnütz war.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Stefan.}$
[/mm]
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