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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Fr 31.12.2004 | | Autor: | azrael |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aufgabenstellung(nur zur information..):
"D [mm] \subseteq \IC [/mm] und sei X die Vereinigung von D und E,der Menge aller Häufungspunkte von D. Beweise dass X die kleinste abgeschlossene Menge ist, die D umfasst.(tip: zz. X abgeschlossen, und jede abgeschlossene Menge A [mm] \subseteq \IC [/mm] , die D umfasst, umfasst auch X)"
eigentliche Frage:
Kann es ein [mm] z_{0} \in \IC \setminus [/mm] X geben, dass Häufungswert von E
ist?
Hatte mir nämlich zum ersten Problem(zz. X abgeschlossen) das so gedacht:
zz. [mm] \IC \setminus [/mm] X ist offen
Beweis durch Widerspruch:
Anngen.: [mm] \IC \setminus [/mm] X ist abgeschlossen
das hab ich dann solange Umgeformt bis zu einem Punkt gekommen bin,
das ein [mm] z_{0} \in \IC \setminus [/mm] X existiert das Häufungspunkt von E ist.
Theoretisch müsste das ja ein Widerspruch seien damit der Beweis Funktioniert. Leider kann ich das aber überhaupt nicht venünftig begründen, warum es so sein müsste und vielleicht könnt ihr mir dabei helfen.Wenn ihr wollt kann ich die gesamte Umformung auch nochmal mit Quantoren aufschreiben, wollt mich aber erstmal darum drücken, da ich noch nicht so gut mit TEX zeug umgehen kann und vielleicht könnt ihr meinem Gedankengang auch so folgen.
Vielen dank schon mal im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Fr 31.12.2004 | | Autor: | andreas |
hi azrael
deine frage, ob es ein [m] z_0 \in \mathbb{C} \setminus X [/m] geben kann, dass häufungspunkt von $E$ ist, kann ich mit nein benatworten. man kann nämlich für [m] F \subset{C} [/m] zeigen, dass [m] \textrm{acc} (\textrm{acc} (F)) \subset \textrm{acc} (F) [/m] ist, wenn [m] \textrm{acc}(F) [/m] die häufungspunkte von $F$ bezeichnet (das zeigt man mit hilfe der dreiecksunglichung - das kannst du dir ja mal überlegen - und gilt sogar in beliebigen metrischen räumen).
aber ich befürcht, damit bist du noch nicht fertig, denn die gegenannahe zu "[m] \mathbb{C} \setminus X [/m] ist offen", ist nicht "[m] \mathbb{C} \setminus X [/m] ist abgeschlossen", sondern "[m] \mathbb{C} \setminus X [/m] ist nicht offen", da es durchaus mengen gibt, die weder offen noch abgeschlossen sind, z.b. ist in [m] \mathbb{R} [/m] das halboffene intervall [m] [0, 1[ [/m] weder offen noch abgeschlossen (das selbe gilt natürlich auch in [m] \mathbb{C} [/m]). aber auch so lässt sich die annahme beweisen, denn angenommen [m] \mathbb{C} \setminus X [/m] ist nicht offen, dann gibt es ein [m] z_0 \in \mathbb{C} \setminus X [/m], so dass
[m] \forall \, \varepsilon > 0 \; \exists \, z \in (\mathbb{C} \setminus X)^\complement = X: |z_0 - z| < \varepsilon [/m]
und somit kann man eine folge in [m] X [/m] konstruieren, die gegen [m] z_0 [/m] konvergiert und somit [m] z_0 \in \mathrm{acc} (X) [/m] und dann muss man sich eben noch überlegen, warum dies ein widerspruch ist (ich hoffe ich habe da wenigstens so halbwegs ähnliche definitionen verwendet wie ihr - ich kenne euere ja leider nicht).
ich hoffe das hilft mal als starthilfe, wenn nicht kannst du ja nochmal nachfragen.
ach ja das LaTeX-problem kenne ich, das löst man am besten durch ausprobiern, bis es entweder klappt oder man verzweifelt aufgibt  (außerdem kann man hier auf die tex ausdrücke anderer klicken und dann wird einem der quelltext angezeigt, das hilft manchmal auch schon etwas).
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Sa 01.01.2005 | | Autor: | azrael |
> man kann nämlich für [m]F \subset{C}[/m] zeigen, dass
> [m]\textrm{acc} (\textrm{acc} (F)) \subset \textrm{acc} (F)[/m]
> ist, wenn [m]\textrm{acc}(F)[/m] die häufungspunkte von [mm]F[/mm]
> bezeichnet (das zeigt man mit hilfe der dreiecksunglichung
> - das kannst du dir ja mal überlegen - und gilt sogar in
> beliebigen metrischen räumen).
Das mit Dreiecksungleichung bereitet mir noch ein wenig Probleme,
wir haben zwar in Algebra [mm] \subset [/mm] schonmal als Relation angenommen,
aber wie soll das bei |a+b| [mm] \le [/mm] |a| + |b| funktionieren ?
Macht man das mit Metrischen Räumen? - die hatten wir nämlich noch nicht.
Da ja deine folgerung auch darauf führt das [mm] z_{0} [/mm] ein Häufungswert ist,
muss man das ja auch irgendwie als erstsemestler beweisen können!?!
> aber ich befürcht, damit bist du noch nicht fertig, denn
> die gegenannahe zu "[m] \mathbb{C} \setminus X[/m] ist offen", ist
> nicht "[m] \mathbb{C} \setminus X[/m] ist abgeschlossen", sondern
> "[m] \mathbb{C} \setminus X[/m] ist nicht offen", da es durchaus
> mengen gibt, die weder offen noch abgeschlossen sind, z.b.
> ist in [m]\mathbb{R}[/m] das halboffene intervall [m][0, 1[[/m] weder
> offen noch abgeschlossen (das selbe gilt natürlich auch in
> [m]\mathbb{C} [/m]).
Da wir die Definition so hatten:
" O [mm] \subseteq \IC [/mm] offen [mm] \gdw \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] O: [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0 : [mm] K_{ \varepsilon}(z) \subseteq [/mm] O. Und eine Menge heisst abgeschlossen wenn
ihr Komplement offen ist."
Dacht ich das abgeschlossen somit die Umkehrung von Offen ist, das ist wohl falsch. Da ich aber einfach nur die Umkehrung von der aussage für
offen (also nicht offen) benutzt hab komm ich ja auf das gleiche.
( O [mm] \subseteq \IC [/mm] nichtoffen [mm] \gdw \exists [/mm] z [mm] \in [/mm] O: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 : [mm] K_{ \varepsilon}(z) \not\subseteq [/mm] O )
noch eine andere Frage:
Warum wurde der Thread in Hochschulanalysis verlegt ?
Oder war ich das ?
Vielen dank
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Sa 01.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi Paul
> > man kann nämlich für [m]F \subset{C}[/m] zeigen, dass
> > [m]\textrm{acc} (\textrm{acc} (F)) \subset \textrm{acc} (F)[/m]
>
> > ist, wenn [m]\textrm{acc}(F)[/m] die häufungspunkte von [mm]F[/mm]
> > bezeichnet (das zeigt man mit hilfe der
> dreiecksunglichung
> > - das kannst du dir ja mal überlegen - und gilt sogar in
>
> > beliebigen metrischen räumen).
>
> Das mit Dreiecksungleichung bereitet mir noch ein wenig
> Probleme,
> wir haben zwar in Algebra [mm]\subset[/mm] schonmal als Relation
> angenommen,
> aber wie soll das bei |a+b| [mm]\le[/mm] |a| + |b| funktionieren
> ?
> Macht man das mit Metrischen Räumen? - die hatten wir
> nämlich noch nicht.
da habe ich mich wohl etwas unglücklich ausgedrückt. hier meinte ich mit dreiecksungleichung einfach die gewöhnliche dreiecksungliechung für den betrag komplexer zahlen, also das gilt
[m] \forall \, z, w \in \mathbb{C}: |z + w| \leq |z| + |w| [/m]
die habt ihr wohl schon gehabt.
das mit metrischen räumen vergisst du am besten ganz schnell wieder, da das hier im prinzip nichts zur sache tut. man kann das eben in noch allgemeineren mathematischen objekten beweisen, wovon [m] \mathbb{C} [/m] mit dem gewöhnlichen betrag nur ein spezialfall ist, aber dir reicht es ja hier, wenn man es für diesen spezialfall zeigt.
zeigen kann man das zum beispiel so:
sei [m] D \subset \mathbb{C} [/m] und [m] z_0 \in \textrm{acc}(\textrm{acc}(D)) [/m], d.h. es gibt eine folge [m] z_n \in \textrm{acc} (D) [/m] mit [m] z_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} z_0 [/m] (das ist ja genau die definition von häufungspunkt). zu zeigen ist nun, dass [m] z_0 \in \textrm{acc}(D) [/m], d.h man muss eine folge [m] w_n \in D [/m] konstruieren, so dass [m] w_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} z_0 [/m].
da die [m] z_n \in \textrm{acc} (D) [/m] gibt es für jedes dieser [m] z_n [/m] eine folge [m] z_n^k \in D[/m] , so dass [m] z_n^k \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} z_n [/m], d.h.
[m] \forall \, \varepsilon > 0 \; \exists \, k_0(n, \varepsilon) \; \forall \, k \geq k_0(n, \varepsilon): |z_n^k - z_n| < \varepsilon [/m]
(das ist einfach die definition der konvergenz einer folge - hattet ihr hoffentlich auch so, oder so ähnlich). wählt man nun für jede dieser folgen das [m] \varepsilon := \frac{1}{2n} [/m], also für die folge [m] z_1^k [/m] wählt man [m] \varepsilon = \frac{1}{2} [/m], für [m] z_2^k [/m] wählt man [m] \varepsilon = \frac{1}{4} [/m], für [m] z_3^k [/m] wählt man [m] \varepsilon = \frac{1}{6} [/m], ... so erhält man stets ein passendes [m] k_0(n) [/m]. betrachtet man nun anstelle der bisherigen folgen einfach die folgen [m] z_n^{k_0(n) + k} [/m] - also die folgen bei denen man die ersten [m] k_0(n) [/m] störenden folgeglieder weggeslassen hat, also die, die "zu weit" vom grenzwert weg lagen, so erhält man neue folgen, deren glieder nach wie vor in [m] D [/m] liegen und weiterhin gegen [m] z_n [/m] konvergiern. ich bezeichen diese folgen im weiteren wieder als [m] z_n^k [/m], tue also so als hätte man einfach nichts weglassen müssen, was ja eigentlich keine beschränkung ist, da bei der konvergenzuntersuchung von folgen die ersten endlich vielen glieder sowieso niemand interessieren!
somit kann man für beliebiges [m] k \in \mathbb{N} [/m] annehmen, dass [m] |z_n^k - z_n | < \frac{1}{2n} [/m] ([m] \star [/m]).
betrachtet man nun die folge [m] z_n [/m], so gibt es für beliebiges [m] m \in \mathbb{N} [/m] ein [m] n_0 \in \mathbb{N} [/m], so dass [m] |z_n - z | < \frac{1}{2m} [/m] für alle [m] n \geq n_0 [/m] nach definition der konvergenz ([m] \star \star [/m]).
nun kann man sich aus den [m] z_n^k [/m] eine folge basteln, die in [m] D [/m] liegt (da nach konstruktion alle [m] z_n^k [/m] in [m] D [/m] liegen) und die gegen [m] z_0 [/m] konvergiert, woraus folgt, das [m] z_0 [/m] ein häufungspunkt von [m] D [/m] ist (was ja gezeigt werden sollte, sofern du dich noch daran erinnerst  ). hierzu wähle die folge [m] w_n := z_n^n [/m], also eine art diagonalfolge, wie aus der folgenden tabelle hervorgehen soll:
[m] \begin{array}{cccc} z_1^1 = w_1 & z_1^2 & z_1^3 &\hdots \\
z_2^1 & z_2^2 = w_2 & z_2^3 & \\
z_3^1 & z_3^2 & z_3^3 = w_3 & \\
\vdots & & & \ddots \end{array} [/m]
dabei konvergiert die folge in der ersten zeile gegen [mm] $z_1$, [/mm] die in der zweiten zeile gegen [mm] $z_2$, [/mm] ...um eine folge die gegen [mm] $z_0$ [/mm] konvergiert zu finden wählt man einfach die diagonalen folge, da dann die gewählten folgenglieder ja immer weiter an den einzelnen grenzwerten liegen und die grenzwerte ja auch immer näher an [mm] $z_0$ [/mm] liegen.
formal könnte man das so machen: man will zeigen, dass es zu einem vorgegenem [m] \varepsilon > 0 [/m] ein [m] N \in \mathbb{N} [/m] gibt, so dass [m] |w_n - z_0 | < \varepsilon [/m] für alle [m] n \geq N [/m]. hat man nun so ein [m] \varepsilon [/m] gegeben, so wähle man ein [m] m \in \mathbb{N} [/m], so dass [m] \frac{1}{m} < \varepsilon [/m] (das gibt es immer - ich denke anschaulich ist das klar, oder ? - formal gilt das, da [m] \mathbb{R} [/m] ein archimedisch angeordneter körper ist). wähle nun zu diesem [m] m [/m] das passende [m] n_0 \in \mathbb{N}[/m] aus ([m] \star \star [/m]) und [m] N := \max \{ n_0, m \} [/m], dann gilt für [m] n \geq N [/m], mit dreiecksungleichung
[m] \begin{array}{rcl} |w_n - z_0| & = & |z_n^n - z_0 | \\
& = & | (z_n^n - z_n) + (z_n - z_0) | \\
& \leq & |z_n^n - z_n| + |z_n -z_0| \\
& < & \frac{1}{2n} + \frac{1}{2m} \\
& \leq & \frac{1}{2N} + \frac{1}{2m} \\
& \leq & \frac{1}{2m} + \frac{1}{2m} \\
& = & \frac{1}{m} \\
& < & \varepsilon \end{array} [/m]
dabei werden folgende argumente gebraucht: in der ersten zeile wird einfach die definitinon von [m] w_n [/m] eingesetzt, in der zweiten zeile wird [m] z_n [/m] abgezogen und auch gleich wieder eingefügt, also im prinzip wird nichts verändert. in der dritten zeile wird dann endlich die dreiecksungleichung benutzt. dann wird in der 4ten zeile die abschätzung aus ([m] \star [/m]) benutzt, dass [m] |z_n^n - z_n | < \frac{1}{2n} [/m] (das war das weglassen der endlich vielen störenden folgenglieder), sowie die abschätzung aus ([m] \star \star [/m]), dass [m] |z_n - z_0| < \frac{1}{2m} [/m] ist, da [m] z_n [/m] gegen [m] z_0 [/m] konvergiert und hier [m] n \geq N := \max \{ n_0, m \} \geq n_0 [/m], also die gewünschte abschätzung aus ([m] \star \star [/m]) auf jeden fall gilt. in der nächsten zeile wird ausgenutzt, dass man sich nur für das ende der folge interessiert, also da [m] n \geq N [/m] gilt, gilt auch [m] \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} [/m]. in der 6ten zeile wird nun noch ausgenutzt, dass [m] N = \max \{ n_0, m \} \geq m [/m], also [m] \frac{1}{N} \leq \frac{1}{m} [/m]. das letzte argument das dann noch fehlt ist, dass diese [m] m [/m] hinreichend groß gewählt wurde, nämlich so dass [m] \frac{1}{m} < \varepsilon [/m], also ist auch der abstand [m] |w_n - z_0 | < \varepsilon [/m] ab einem hier konstruierten index [m] N \in \mathbb{N} [/m], also konvergiert die folge [m] (w_n)_{n \in \mathbb{N}} [/m] mit folgengliedern aus [m] D [/m] gegen den punkt [m] z_0 [/m], womit [m] z_0 [/m] ein häufungspunkt von [m] D [/m] ist und der beweis abgeschlossen wäre!
ich muss zugeben, dass der beweis viel schwieriger war als ich annahm, als ich das letzte mal einfach schrieb: "dreiecksungleichung". die braucht man zwar, aber eben auch noch einiges anderes. wenn du den beweis jetzt nicht auf anhieb verstehst ist das bestimmt nicht schlimm, bei solchen beweisen hätte ich meinen tutor im ersten semester wohl auch mit fragen genervt. also wenn du fragen hast: nur her damit.
wenn jemand einen kürzeren beweis anbieten kann wäre ich natürlich auch daran interessiert!
> Da ja deine folgerung auch darauf führt das [mm]z_{0}[/mm] ein
> Häufungswert ist,
> muss man das ja auch irgendwie als erstsemestler beweisen
> können!?!
>
>
> > aber ich befürcht, damit bist du noch nicht fertig, denn
>
> > die gegenannahe zu "[m] \mathbb{C} \setminus X[/m] ist offen",
> ist
> > nicht "[m] \mathbb{C} \setminus X[/m] ist abgeschlossen",
> sondern
> > "[m] \mathbb{C} \setminus X[/m] ist nicht offen", da es durchaus
>
> > mengen gibt, die weder offen noch abgeschlossen sind,
> z.b.
> > ist in [m]\mathbb{R}[/m] das halboffene intervall [m][0, 1[[/m] weder
>
> > offen noch abgeschlossen (das selbe gilt natürlich auch
> in
> > [m]\mathbb{C} [/m]).
>
> Da wir die Definition so hatten:
> " O [mm]\subseteq \IC[/mm] offen [mm]\gdw \forall[/mm] z [mm]\in[/mm] O: [mm]\exists \varepsilon[/mm]
> > 0 : [mm]K_{ \varepsilon}(z) \subseteq[/mm] O. Und eine Menge
> heisst abgeschlossen wenn
> ihr Komplement offen ist."
> Dacht ich das abgeschlossen somit die Umkehrung von Offen
> ist, das ist wohl falsch. Da ich aber einfach nur die
> Umkehrung von der aussage für
> offen (also nicht offen) benutzt hab komm ich ja auf das
> gleiche.
> ( O [mm]\subseteq \IC[/mm] nichtoffen [mm]\gdw \exists[/mm] z [mm]\in[/mm] O:
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 : [mm]K_{ \varepsilon}(z) \not\subseteq[/mm]
> O )
das ist ja schonmal gut.
vielleicht kannst du mit obiger aussage dein eigentliches problem lösen?
> noch eine andere Frage:
> Warum wurde der Thread in Hochschulanalysis verlegt ?
das weiß ich leider auch nicht - gehört eigentlich schon zu hochschul-analysis, oder?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:40 So 02.01.2005 | | Autor: | azrael |
Erst mal vielen dank das du dir so arbeit machst.
Da es recht komliziert ist hab ich erstmal nur überflogen und werd es mir morgen in ruhe ansehen, ich hab aber schon mal eine Frage:
was ist $ [mm] k_0(n, \varepsilon) [/mm] $ ? -ist das sowas wie eine Umgebung?
bis dann
PAul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 So 02.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi Paul
ich nehme mal an, dass die definition der konvergenz einer folge bei euch in etwa so
[m] \forall \, \varepsilon > 0 \; \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \; \forall \, n \geq n_0: |a_n - a| < \varepsilon [/m]
aussah? hier tritt eben ein [m] k_0 [/m] statt eines [m] n_0 [/m] auf, da der laufindex der folge ein [m] k [/m] ist, man also eine folge [m] (a_k)_{k \in \mathbb{N}} [/m] hat. das [m] n [/m] und das [m] \varepsilon [/m] in der klammer soll ausdrücken, dass diese [m] k_0 [/m] von diesen beiden werten abhängen darf. in der normalen konvergenz definition wie hier oben, sollt man eigentlich auch [m] n_0(\varepsilon) [/m] schrieben, da das [m] n_0 [/m] natürlich vom [m] \varepsilon [/m] abhängen darf!
mach dir am besten den beweis am anfang anschaulich klar:
da es zu jedem folgenglied der folge aus [m] \textrm{acc} \, D [/m] die gegen [m] z_0 [/m] konvergiert, eine folge aus [m] D [/m] gibt, die gegen dieses folgenglied konvergiert (da diese ja häufungspunkte von $D$ sind) kann man für jedes [m] \varepsilon > 0 [/m] folgenglieder finden, die nicht mehr als [m] \varepsilon [/m] vom grenzwert weg liegen und nach dreiecksungleichung liegen dann die entsprechenden folgenglieder aus [m] D [/m] nicht mehr als [m] 2 \varepsilon [/m] von [m] z_0 [/m] entfernt, somit kann man eine gegen [m] z_0 [/m] konvergente folge aus $D$ basteln. (vielleicht hilft da auch eine skizze?)
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 So 02.01.2005 | | Autor: | azrael |
Vielen dank fuer deine Hilfe Andreas!
Dein Beweis ist zwar recht kompliziert aber gut nachvollziehbar.
Ich hab ihn mit eigenen Worten aufgeschrieben und werd mal sehen
was mein Übungsleiter dazu sagt - vielleicht hatt er auch eine Idee wie man das kürzer löst. Ich hatte auch 2 Beweise von Komolitonen gesehn,
da war es zwar jedesmal kürzer, aber ich hatte jeweils das Gefühl,
dass sie die Aussage mit sich selber bewiesen...
Da bleibt eigentlich für mich nur noch die Frage wie man als erstsemestler
darauf kommen soll... naja aber um so schwerer die Aufgaben um so mehr
spass machen sie auch.
Bis dann
Paul
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:37 Mo 03.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi Paul
danke für die rückmeldung.
wenn dein übungsleiter einen kürzeren beweis liefert, würde mich auf jeden fall der ansatz interessieren! wie man im ersten semester auf so einen beweis kommen soll weiß ich leider auch nicht - er ist zwar ähnlich dem beweis der vollständigkeit von [m] \mathbb{R} [/m], wenn man dies aus der menge der rationalen cauchy-folgen konstruiert - diesen beweis konnte ich im ersten semester nicht mal nachvollziehen!
um so besser wenn du diesen beweis verstanden hast.
grüße
andreas
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