abgeschlossen Projektion,Bsp < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Mo 28.09.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Die Projektionsabbildung [mm] \pi_j [/mm] : [mm] \produkt_{i\in I} X_i \rightarrow X_j [/mm] ist ja stetig und offen aber wieso ist sie im allgemeinen nicht abgeschlossen?
Als Beispiel ist im SKript angeführt:
[mm] A:=\{(x,1/x): x >0\} [/mm] abgeschlossen in [mm] \mathbb{R} \times \mathbb{R}
[/mm]
[mm] \pi_1(A)=]0, \infty[ [/mm] nicht abgeschlossen in [mm] \mathbb{R}
[/mm]
Frage: Wieso ist A abgeschlossen in [mm] \mathbb{R}\times \mathbb{R} [/mm] ? |
Hallo,
ZZ.: A abgeschlossen in [mm] \mathbb{R} \times \mathbb{R}= \mathbb{R}^2
[/mm]
gZZ.: [mm] \mathbb{R}^2 \setminus [/mm] A offen in Produktopologie
D.h. es ist zuzeigen, dass man für alle [mm] (x_i)_{i\in\{1,2\}} \in \mathbb{R}^2 \setminus [/mm] A eine Umgebung finden kann die ganz in [mm] \mathbb{R}^2 \setminus [/mm] A liegt.
Sei also [mm] (x_i)_{i\in\{1,2\}}=(x_1,x_2) \not\in [/mm] A, d.h. [mm] x_2 \not= 1/x_1
[/mm]
Da in [mm] \mathbb{R} [/mm] die Eigenschaft [mm] T_2 [/mm] gilt können wir diskunkte offene Umgebungen U,V um [mm] x_2 [/mm] und [mm] 1/x_1 [/mm] finden.
[mm] \pi_2^{-1} [/mm] (U)= [mm] \produkt_{i\in \{1,2\}} L_i [/mm] mit [mm] L_2= [/mm] U und [mm] L_1=\mathbb{R}
[/mm]
[mm] \pi_2^{-1} [/mm] (V)= [mm] \produkt_{i\in \{1,2\}} L_i [/mm] mit [mm] L_2= [/mm] V und [mm] L_1=\mathbb{R}
[/mm]
[mm] \pi_2^{-1} [/mm] (U) ist als Urbilder einer offener Mengen unter einer stetiger Funktion offen in der Produkttopologie.
[mm] (x_1, x_2) \in \pi_2^{-1} [/mm] (U) nach Konstruktion und [mm] \pi_2^{-1} [/mm] (U) [mm] \subseteq \mathbb{R}^2 \setminus [/mm] A da U von V disjunkt getrennt ist.
Passt das so?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:53 Di 29.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile!
> Die Projektionsabbildung [mm]\pi_j[/mm] : [mm]\produkt_{i\in I} X_i \rightarrow X_j[/mm]
> ist ja stetig und offen aber wieso ist sie im allgemeinen
> nicht abgeschlossen?
> Als Beispiel ist im SKript angeführt:
> [mm]A:=\{(x,1/x): x >0\}[/mm] abgeschlossen in [mm]\mathbb{R} \times \mathbb{R}[/mm]
>
> [mm]\pi_1(A)=]0, \infty[[/mm] nicht abgeschlossen in [mm]\mathbb{R}[/mm]
>
> Frage: Wieso ist A abgeschlossen in [mm]\mathbb{R}\times \mathbb{R}[/mm]
> ?
> ZZ.: A abgeschlossen in [mm]\mathbb{R} \times \mathbb{R}= \mathbb{R}^2[/mm]
>
> gZZ.: [mm]\mathbb{R}^2 \setminus[/mm] A offen in Produktopologie
> D.h. es ist zuzeigen, dass man für alle
> [mm](x_i)_{i\in\{1,2\}} \in \mathbb{R}^2 \setminus[/mm] A eine
> Umgebung finden kann die ganz in [mm]\mathbb{R}^2 \setminus[/mm] A
> liegt.
Ja.
> Sei also [mm](x_i)_{i\in\{1,2\}}=(x_1,x_2) \not\in[/mm] A, d.h. [mm]x_2 \not= 1/x_1[/mm]
Für [mm] $(x_1,x_2)\in\IR^2$ [/mm] bedeutet [mm] $(x_1,x_2)\notin [/mm] A$:
[mm] $(x_1>0\text{ und }x_2\not=1/x_1)$ [/mm] oder [mm] $x_1\le [/mm] 0$.
> Da in [mm]\mathbb{R}[/mm] die Eigenschaft [mm]T_2[/mm] gilt können wir
> diskunkte offene Umgebungen U,V um [mm]x_2[/mm] und [mm]1/x_1[/mm] finden.
> [mm]\pi_2^{-1}[/mm] (U)= [mm]\produkt_{i\in \{1,2\}} L_i[/mm] mit [mm]L_2=[/mm] U und
> [mm]L_1=\mathbb{R}[/mm]
> [mm]\pi_2^{-1}[/mm] (V)= [mm]\produkt_{i\in \{1,2\}} L_i[/mm] mit [mm]L_2=[/mm] V und
> [mm]L_1=\mathbb{R}[/mm]
OK.
> [mm]\pi_2^{-1}[/mm] (U) ist als Urbilder einer offener Mengen unter
> einer stetiger Funktion offen in der Produkttopologie.
Ja.
> [mm](x_1, x_2) \in \pi_2^{-1}[/mm] (U) nach Konstruktion
Ja.
> und
> [mm]\pi_2^{-1}[/mm] (U) [mm]\subseteq \mathbb{R}^2 \setminus[/mm] A da U von
> V disjunkt getrennt ist.
[mm]\pi_2^{-1}[/mm] (U) enthält im Falle [mm] $x_2>0$ [/mm] den Punkt [mm] $(1/x_2,x_2)=(1/x_2,1/(1/x_2))\in [/mm] A$, also gilt in diesem Fall nicht [mm] $\pi_2^{-1}(U)\subseteq\IR^2\setminus [/mm] A$.
> Passt das so?
Leider nein.
Ich würde mit dem Wissen (?) arbeiten, dass die Produkttoplogie auf [mm] $\IR\times\IR$ [/mm] von der euklidischen Metrik auf [mm] $\IR^2$ [/mm] induziert wird.
Somit genügt es zu zeigen:
Für alle Folgen in [mm] $\IR^2$ [/mm] konvergenten Folgen [mm] $(x_n,y_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit Folgengliedern in A gilt auch [mm] $\lim_{n\to\infty}(x_n,y_n)\in [/mm] A$.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:01 Di 29.09.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Schade, dass der Beweis so nicht klappt. Danke für den Hinweis.
Ja das ist bekannt.
> Für alle Folgen in $ [mm] \IR^2 [/mm] $ konvergenten Folgen $ [mm] (x_n,y_n)_{n\in\IN} [/mm] $ mit Folgengliedern in A gilt auch $ [mm] \lim_{n\to\infty}(x_n,y_n)\in [/mm] A $.
Sei [mm] (x_n,y_n)_{n\in \mathbb{N}} [/mm] eine konvergente Folge mit [mm] (x_n,y_n) \rightarrow(x,y). [/mm] D.h. insbesondere für die Komponentenfolgen [mm] x_n \rightarrow [/mm] x und [mm] y_n \rightarrow [/mm] y.
Da die Folge in A ist gilt [mm] x_n>0 \forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] und [mm] y_n=1/x_n \forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N}.
[/mm]
Es folgt [mm] x=\lim_{n\rightarrow\infty} x_n \ge [/mm] 0 .
Ist x=0 so folgt y= [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{x_n} [/mm] = [mm] \infty \rightarrow [/mm] Widerspruch zur Konvergenz, demnach [mm] x_n [/mm] >0.
y= [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} 1/x_n [/mm] = 1/x
[mm] \Rightarrow [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] A
Danke,
Sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Di 29.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Schade, dass der Beweis so nicht klappt. Danke für den
> Hinweis.
>
> Ja das ist bekannt.
> > Für alle Folgen in [mm]\IR^2[/mm] konvergenten Folgen
> [mm](x_n,y_n)_{n\in\IN}[/mm] mit Folgengliedern in A gilt auch
> [mm]\lim_{n\to\infty}(x_n,y_n)\in A [/mm].
> Sei [mm](x_n,y_n)_{n\in \mathbb{N}}[/mm] eine konvergente Folge mit
> [mm](x_n,y_n) \rightarrow(x,y).[/mm] D.h. insbesondere für die
> Komponentenfolgen [mm]x_n \rightarrow[/mm] x und [mm]y_n \rightarrow[/mm] y.
> Da die Folge in A ist gilt [mm]x_n>0 \forall[/mm] n [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
> und [mm]y_n=1/x_n \forall[/mm] n [mm]\in \mathbb{N}.[/mm]
> Es folgt
> [mm]x=\lim_{n\rightarrow\infty} x_n \ge[/mm] 0 .
> Ist x=0 so folgt y= [mm]\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{x_n}[/mm]
> = [mm]\infty \rightarrow[/mm] Widerspruch zur Konvergenz, demnach
> [mm]x_n[/mm] >0.
> y= [mm]\lim_{n\rightarrow \infty} 1/x_n[/mm] = 1/x
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x,y) [mm]\in[/mm] A
Das passt !
FRED
>
> Danke,
> Sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Di 29.09.2015 | | Autor: | sissile |
Danke!!
LG,
sissi
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