abelsche Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Do 14.05.2009 | | Autor: | eppi1981 |
| Aufgabe | Sei (G,⋅) eine abelsche Gruppe. Zeigen Sie:
Sind a,b∈G, a ≠ b , und ord(a) = ord(b) = 2 , dann ist auch a ⋅b ein Element der Ordnung 2. |
z.z. ord(a*b)=2
da die Gruppe abelsch ist, sind a und b vertauschbar. weil die Ordnung a und b endlich ist, dann gilt dieses auch für das Produkt a*b.
ord(a*b)=ord(a)*ord(b)
[mm] (a*b)^{2}=a^{2}*b^{2}=e*e=e
[/mm]
stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Do 14.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei (G,⋅) eine abelsche Gruppe. Zeigen Sie:
> Sind a,b∈G, a ≠ b , und ord(a) = ord(b) = 2 ,
> dann ist auch a ⋅b ein Element der Ordnung 2.
> z.z. ord(a*b)=2
> da die Gruppe abelsch ist, sind a und b vertauschbar. weil
> die Ordnung a und b endlich ist, dann gilt dieses auch für
> das Produkt a*b.
> ord(a*b)=ord(a)*ord(b)
Das ist doch Unsinn ! Wenn ord(a) = ord(b) = 2, so wäre nach Deiner Formel ord(ab) =4. Behauptet wird jedoch ord(ab) =2 !!
>
> [mm](a*b)^{2}=a^{2}*b^{2}=e*e=e[/mm]
>
> stimmt das?
Ja, und es folgt zunächst: $ord(ab) [mm] \le [/mm] 2$. Jetzt mußt Du noch zeigen: $ord(ab) [mm] \not= [/mm] 1$. Dazu nehmen wir an: $ord(ab) =1$. Dann ist aber
$ab=e$, also $b= [mm] a^{-1}$
[/mm]
Aus [mm] $e=a^2$ [/mm] folgt dann:
[mm] $a^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1}e= a^{-1}a^2 [/mm] = a$,
also a=b, Widerspruch !
FRED
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