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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Fr 11.11.2005 | | Autor: | lck |
hallo zusammen!
Ich habe probleme bei der berechnung und darstellung von abbildungen!
und zwar hab ich ein quadrat in der komplexen z-ebene mit den ecken 0,1,1+i,i gegeben was durch f(z)=(1+i)z-(1-i) in die komplexe w-ebene abgebildet wird! und ich soll das nun berechnen und skizzieren,sowie die dazugehörige abbildungsmatrix angeben, wenn man in [mm] \IR^{2} [/mm] rechnen würde!
wie geh ich da vor?meine vermutetung ist das es um eine drehstreckung handeln könnte, aber wie soll ich das zeigen? hab versucht f(z) umzuformen, aber das hat in meinen augen wenig gebracht! einer von euch eine idee?
kommt gut ins wochenende!gruß Lck
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[mm]1 + \operatorname{i} = \sqrt{2} \, \operatorname{e}^{\, \operatorname{i} \frac{\pi}{4}}[/mm]
Die Abbildung [mm]z \mapsto s = (1 + \operatorname{i}) \, z[/mm] ist daher eine Drehstreckung mit Drehzentrum 0, Drehwinkel [mm]\frac{\pi}{4}[/mm] (gegen den Uhrzeigersinn) und Streckfaktor [mm]\sqrt{2}[/mm].
Die Abbildung [mm]s \mapsto w = s - (1 - \operatorname{i})[/mm] ist eine Verschiebung um [mm]-1 + \operatorname{i}[/mm], welchem im [mm]\mathbb{R}^2[/mm] der Vektor [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] entspricht.
Und jetzt sind diese beiden Abbildungen hintereinander auszuführen: erst die Drehstreckung, dann die Verschiebung.
Man kann natürlich auch vorher umformen
[mm]w = (1 + \operatorname{i}) \, z - (1 - \operatorname{i}) = (1 + \operatorname{i}) \left( z + \operatorname{}i \right)[/mm]
Überlege selbst, welche elementaren Abbildungen dieses Mal dahinterstecken.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Fr 11.11.2005 | | Autor: | lck |
danke für die schnelle und ausführliche antwort Leopold_Gast!
obwohl ich alles nachvollziehen kannst was du schreibst, fehlt mir dennoch der praktische hinweis wie ich das jetzt zeichnen soll! konkret gefragt,wie berechne ich wohin der punkt i aus dem urbild jetzt in der neuen abbildung geht???
ich tue mich wirklich etwas schwer mit diesen aufgaben, mir wärs nur wichtig diese hier bis ins detail zu verstehen, weil ich davon noch dutzende zu rechnen habe!
gruß lck
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Fr 11.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Homer
Solange du die Abbildung nicht direkt siehst, wie Leopold das beschreibt. setzest du einfach nacheinander die gegebenen Punkte für z ein und zeichnest dann die Bildpunkte in das KOS ein.
Die gesuchte Drehmatrix findest du, wenn du dann siehst, dass die Drehung um 45° und die Streckung [mm] \wurzel{2} [/mm] ist. Falls du Drehmatrizen nicht kennst, kannst du einfach ne abcd Matrix A nehmen und abcd so bestimmen dass die gedrehten Vektoren raus kommen also A* [mm] \vektor{1 \\ 0}= \vektor{1 \\ 1}usw.
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Fr 11.11.2005 | | Autor: | lck |
hallo, danke für die zeichnung, sie hat mir sehr geholfen!!!mit was fürn programm hast du das gemacht?
viel wichtiger ist aber die frage wie man auf die abbildungsmatrix kommt! ich verstehe schon wie man auf die einzelnen drehmatrizen kommt, aber wie lautet die allgemeine form?
gruß
lck
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Laß erst einmal die Verschiebung weg. Dann ist [mm]z \mapsto w = (1+\operatorname{i}) \, z[/mm] eine lineare Abbildung im Sinne der Vektorrechnung, [mm]\mathbb{C}[/mm] als [mm]\mathbb{R}[/mm]-Vektorraum aufgefaßt. Da es sich um eine Drehstreckung handelt, ist es sogar eine Ähnlichkeitsabbildung: die Streckung nämlich ist eine Ählichkeitsabbildung, die Drehung sogar eine Kongruenzabbildung. Deshalb ist es klar, daß die Bildfigur selbst wieder ein Quadrat ist (das blau schraffierte in meiner Zeichnung).
Um die Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung des [mm]\mathbb{R}^2[/mm] zu finden, braucht man nur die Bilder der Einheitsvektoren
[mm]e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Man schreibt sie als Spalten nebeneinander - und das ist schon die Abbildungsmatrix. Jetzt entspricht aber [mm]e_1[/mm] komplex die Zahl 1 und [mm]e_2[/mm] komplex die Zahl [mm]\operatorname{i}[/mm]. Bestimme also die Bilder dieser beiden komplexen Zahlen bei der Drehstreckung durch Einsetzen in [mm]w = (1+\operatorname{i}) \, z[/mm]. Und diese Bilder schreibst du jetzt als Spalten, der Realteil ist die [mm]e_1[/mm]-Koordinate, der Imaginärteil die [mm]e_2[/mm]-Koordinate. Und diese beiden Spalten bestimmen, wie schon ausgeführt, die Abbildungsmatrix. Mache die Probe, daß die Ecken des Ausgangsquadrates tatsächlich auf die Ecken des blauen Quadrates abgebildet werden.
Die anschließende Verschiebung kann nicht mit Hilfe einer Matrix beschrieben werden, im Sinne der Vektorrechnung sind nämlich Verschiebungen keine linearen Abbildungen. (Im Sinne der euklidischen Geometrie sind sie natürlich Kongruenzabbildungen.) Du kannst also lediglich die Form
[mm]x \mapsto y = Ax + v[/mm]
erreichen. Hierbei sind [mm]x,y,v \in \mathbb{R}^2[/mm] Spaltenvektoren und [mm]A[/mm] ist eine 2×2-Matrix.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:53 Sa 12.11.2005 | | Autor: | lck |
hi! ich hab mich mal daran versúcht und folgendes raus: [mm] \pmat{ 1 & i \\i & 1 }
[/mm]
stimmt das?laut probe müßte das richtig sein
gruß
lck
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Sa 12.11.2005 | | Autor: | lck |
mir fällt gerade auf das in der aufgabenstellung was von der abbildungsmatrix aus dem [mm] \IR^{2} [/mm] steht!aber ich hab doch jetzt ne matrix aus [mm] \IC, [/mm] was also tun oder war damit das gemeint?
gruß lck
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Genau. Deine Antwort ist falsch. Denn komplexe Zahlen haben in einer reellen Matrix nichts verloren. In meinem vorigen Beitrag habe ich dir genau beschrieben, wie du von der komplexen Darstellung auf die reelle kommst. Du mußt es nur genau lesen und auch so ausführen ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 So 13.11.2005 | | Autor: | lck |
hallo leopold und danke für die unendliche geduld die du mit mir hast!
ich stehe scheinbar total auf dem schlauch, ich verstehe irgendwie nicht wirklich was ich wo einsetzen soll wenn du schreibst:
" Bestimme also die Bilder dieser beiden komplexen Zahlen bei der Drehstreckung durch Einsetzen in w=(1+i)z. Und diese Bilder schreibst du jetzt als Spalten, der Realteil ist die e1-Koordinate, der Imaginärteil die e2-Koordinate. "
soll ich jetzt für 1= [mm] \vektor{1 \\0} [/mm] und für i [mm] =\vektor{0 \\ 1}einsetzen?was [/mm] ist denn dann z? im grunde genommen hab ich die aufgabe wohl doch noch nicht verstanden!:-(
gruß LCK, der sich nochmal ausdrücklich für deine hilfe bedankt!
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Dann führe ich das einmal vor. Zu untersuchen ist die Abbildung
[mm]w = (1 + \operatorname{i})z[/mm]
[mm]z = 1 \ \text{liefert} \ \ w = 1 + \operatorname{i}[/mm]
[mm]z = \operatorname{i} \ \text{liefert} \ \ w = -1 + \operatorname{i}[/mm]
Reell umschreiben:
Aus [mm]z=1[/mm] wird [mm]e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm], aus [mm]w = 1 + \operatorname{i}[/mm] wird [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Aus [mm]z = \operatorname{i}[/mm] wird [mm]e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm], aus [mm]w = -1 + \operatorname{i}[/mm] wird [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Die Bildvektoren der kanonischen Basis bestimmen die Abbildungsmatrix
[mm]A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
Und damit lautet die Abbildung [mm]w = (1 + \operatorname{i})z[/mm] in reeller Schreibweise:
[mm]\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \ = \ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/mm]
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