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| Aufgabe | | Sei [mm] \Omega=\{(x,y,z)\in\IR^3:0
durch Transfomration auf Zylinderkoordinaten [mm] \IR^+\times(0,2\pi)\times\IR\to\IR^3, (r,\phi,z)\to(x,y,z)=(rcos\phi, rsin\phi,z) [/mm] |
Guten Morgen Ihr Lieben, ich habe mich mit obiger Aufgabe beschäftigt, bin mir aber nicht ganz sicher ob ich das so machen kann. Wäre lieb wenn Ihr mir ein kleines Feedback geben könntet.
[mm] \integral_{\Omega}^{}(x^2+y^2)d(x,y,z)=\integral_{(x,y,z):z<4; x^2+y^2<4}^{}(x^2+y^2)d(x,y,z)
[/mm]
Wähle [mm] A=\IR^+\times(0,2\pi)\times\IR\cut\{(r,\phi,z): 0<4
[mm] \integral_{g(A)}^{}(x^2+y^2)d(x,y,z)=\integral_{A}^{}z*r*r d(r,\phi,z)=\integral_{0}^{4}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{4}z*r^2 [/mm] dz [mm] d\phi dr=...=\bruch{1024}{3}\pi
[/mm]
Das erste "=" ergibt sich durch die Transformation auf Zylinderkoordinaten mit [mm] x=rcos\phi; y=rsin\phi; [/mm] z=z und der Jordanmatrix [mm] J=\pmat{ cos\phi & -rsin\phi & 0 \\ sin\phi & rcos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] bzw. det(J)=r
Kann ich das so machen? Bzw: Sind auch meine Grenzen der Integrale richtig? Da bin ich mir nämlich noch unsicher. DANKE für Eure Hilfe und weiterhin ein schönes Wochenende.
LG Susi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Sa 28.05.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst nicht über r und z von 0 bis 4 integrieren!
1. ist r maximal 2,
2. hängt r(z) ab oder z(r).
3. ist das Volumenelemen in Zyl.KOO dV= [mm] r*d\phi [/mm] +dr*dz
Gruß ledum
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Hallo, ich hab da nochmal ein paar Nachfragen:
> du kannst nicht über r und z von 0 bis 4 integrieren!
> 1. ist r maximal 2,
okay, überzeugt: da [mm] x^2+y^2=4 [/mm] und mit [mm] x=rcos\phi [/mm] und [mm] y=rsin\phi
[/mm]
[mm] (rcos\phi)^2+(rsin\phi)^2=4 \gdw r^2=4 \Rightarrow r=\pm2, [/mm] dann muss mein Integral bzgl. r von -2 bis 2 laufen, oder?
> 2. hängt r(z) ab oder z(r).
aber was mach ich mit z? gilt da ähnliches?
> 3. ist das Volumenelemen in Zyl.KOO dV= [mm]r*d\phi[/mm] +dr*dz
DANKE für Eure Hilfe LG Susi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Mo 30.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich hab da nochmal ein paar Nachfragen:
>
> > du kannst nicht über r und z von 0 bis 4 integrieren!
> > 1. ist r maximal 2,
>
> okay, überzeugt: da [mm]x^2+y^2=4[/mm] und mit [mm]x=rcos\phi[/mm] und
> [mm]y=rsin\phi[/mm]
> [mm](rcos\phi)^2+(rsin\phi)^2=4 \gdw r^2=4 \Rightarrow r=\pm2,[/mm]
> dann muss mein Integral bzgl. r von -2 bis 2 laufen, oder?
Nein. Es ist doch r >0.
>
> > 2. hängt r(z) ab oder z(r).
> aber was mach ich mit z? gilt da ähnliches?
Es ist [mm] z
FRED
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> > 3. ist das Volumenelemen in Zyl.KOO dV= [mm]r*d\phi[/mm] +dr*dz
>
> DANKE für Eure Hilfe LG Susi
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Okay, ich versuch mich nochmal an obiger Aufgabe 
[mm] \integral_{\Omega}^{}(x^2+y^2)d(x,y,z)=\integral_{(x,y,z):0
Wähle [mm] A=R^+\times(0,2\pi\timesR^+\cut\{(r,\phi,z)0
[mm] \integral_{g(A)}^{}(x^2+y^2)d(x,y,z)=\integral_{A}^{}z*r*rd(r,\phi,z)=\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2}z*r^2dz d\phi [/mm] dr=...
Kann ich das so machen oder hab ich meine Integralgrenzen wieder durcheinander gehauen?
LG Susi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Mo 30.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Okay, ich versuch mich nochmal an obiger Aufgabe
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> [mm]\integral_{\Omega}^{}(x^2+y^2)d(x,y,z)=\integral_{(x,y,z):0
>
> Wähle [mm]A=R^+\times(0,2\pi\timesR^+\cut\{(r,\phi,z)0
Nein. Das stimmt nicht. Es ist r [mm] \in [/mm] (0,2) und [mm] z
> offen, ...
>
> [mm]\integral_{g(A)}^{}(x^2+y^2)d(x,y,z)=\integral_{A}^{}z*r*rd(r,\phi,z)=\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2}z*r^2dz d\phi[/mm]
Unterm Integral stimmts auch nicht ....
[mm] $\integral_{g(A)}^{}(x^2+y^2)d(x,y,z)=\integral_{A}^{}r^3d(r,\phi,z)=\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{r^2}r^3dz d\phi [/mm] d r$
FRED
> dr=...
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> Kann ich das so machen oder hab ich meine Integralgrenzen
> wieder durcheinander gehauen?
>
> LG Susi
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