Zyklischer Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Sa 09.10.2010 | | Autor: | valoo |
Hallo!
Es sei V ein Vektorraum und [mm] \alpha:V\to [/mm] V sei linear derart, dass V [mm] \alpha-zyklisch [/mm] ist. Ist dann V unzerlegbar?
Genauer: Existiert dann keine nichttriviale Zerlegung [mm] V=U\oplus [/mm] W in [mm] \alpha-invariante [/mm] Unterräume?
Klingt ganz plausibel, doch wie beweist man das?
Angenommen es gilt [mm] V=U\plus [/mm] W, wobei U und W [mm] \alpha-invariant [/mm] sind und [mm] U\not=\{0\}. [/mm] Kann man dann irgendwie folgern [mm] W=\{0\}?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Sa 09.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei V ein Vektorraum und [mm]\alpha:V\to[/mm] V sei linear
> derart, dass V [mm]\alpha-zyklisch[/mm] ist. Ist dann V unzerlegbar?
> Genauer: Existiert dann keine nichttriviale Zerlegung
> [mm]V=U\oplus[/mm] W in [mm]\alpha-invariante[/mm] Unterräume?
> Klingt ganz plausibel, doch wie beweist man das?
Ich denke, die Aussage ist falsch:
Nehmen wir etwa einen Endomorphismus von [mm] $\IR^2$ [/mm] mit Minimalpolynom $(x - 1) (x - 2) = [mm] x^2 [/mm] - 3 x + 2$. Etwa den, der zur passenden ![[]](/images/popup.gif) Begleitmatrix gehoert: $A = [mm] \pmat{ 0 & 2 \\ 1 & 3 }$. [/mm] Nimm jetzt den Vektor $v = [mm] \pmat{ 1 \\ 0 }$; [/mm] dann ist $A v = [mm] \pmat{ 0 \\ 1 }$, [/mm] womit [mm] $\langle [/mm] v, A v [mm] \rangle [/mm] = [mm] \IR^2$ [/mm] ist.
Trotzdem (wegen der Wahl des Minimalpolynoms) ist $A$ diagonalisierbar, womit du [mm] $\IR^2 [/mm] = [mm] U_1 \oplus U_2$ [/mm] echt in $A$-invariante Unterraeume zerlegen kannst.
Damit das nicht geht, muss das Minimalpolynom genau einen irreduziblen Faktor haben (evtl. mit Vielfachheit); falls es zwei verschiedene irreduzible Faktoren hat, kann man den Vektorraum immer unterteilen (siehe z.B. hier). Aber selbst wenn es nur eine Potenz von einem Faktor ist, kann es immer noch schiefgehen... Nimm etwa eine Matrix in [mm] $\IR^{3 \times 3}$ [/mm] mit Minimalpolynom $(x - [mm] \lambda)^2$ [/mm] (schau dir die Jordansche Normalform an).
LG Felix
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