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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | | Sei G eine zyklische Gruppe endlicher Ordnung und seien $a,b [mm] \in [/mm] G$. Dann ist die von a und b in G erzeugte Untergruppe von der Odrnung $kgV(ord a, ordb)$. |
Hallo,
ich komme bei der Aufgabe leider nicht so richtig weiter.
Aber immerhin hatte ich Ideen:
Da G endlich ist auch $<a,b>$ endlich und $<a>$ und $<b>$ sind Untergruppen von $<a,b>$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nach dem Satz von Lagrange gilt also $ord [mm] \: [/mm] a [mm] \; [/mm] | [mm] \; [/mm] ord<a,b>$ und $ord [mm] \: [/mm] b [mm] \; [/mm] | [mm] \; [/mm] ord<a,b>$
[mm] $\Rightarrow [/mm] kgV(ord [mm] \: [/mm] a, ord [mm] \: [/mm] b) [mm] \; [/mm] | [mm] \; [/mm] ord [mm] \: [/mm] a$
[mm] $\Rightarrow [/mm] ord<a,b> [mm] \geq [/mm] kgV(ord [mm] \: [/mm] a, ord [mm] \: [/mm] b)$
Kann man hiermit weiterarbeiten?
Ein anderer Ansatz:
Da G zyklisch existiert $x [mm] \in [/mm] G$, sodass $G = <x>$, also auch $m,n [mm] \in \IN: a=x^m, b=x^n$. [/mm] Ich vermute nun dass $<a,b> = [mm] $ [/mm] gilt, kann das aber auch nicht zeigen.
Bringt dieser Ansatz weiter?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Viele Grüße, Lippel
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Huhu,
deine Überlegungen sind gut, um sich einiges klar zu machen, führen aber kaum zum Ziel.
So nebenbei
> [mm]\Rightarrow kgV(ord \: a, ord \: b) \; | \; ord \: a[/mm]
Ist falsch. Dreh es um, aber das gilt trivialerweise 
Zeige zuerst:
1.) <a,b> ist zyklisch mit endlicher Ordnung (hast du ja schon halb)
2.) [mm] $||\big| [/mm] kgV(ord(a),ord(b))$ (auch schnell gezeigt)
3.) [mm] $(ab)^k [/mm] = e [mm] \Rightarrow [/mm] k [mm] \ge [/mm] kgV(ord(a),ord(b))
Und aus 3.) folgt dann $kgV(ord(a),ord(b)) [mm] \big| [/mm] |<a,b>|$
und mit 2.) dann sofort $|<a,b>| = kgV(ord(a),ord(b))$
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo, vielen Dank für deine Antwort!
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> deine Überlegungen sind gut, um sich einiges klar zu
> machen, führen aber kaum zum Ziel.
> So nebenbei
>
>
> > [mm]\Rightarrow kgV(ord \: a, ord \: b) \; | \; ord \: a[/mm]
Oh, da hatte ich mich vertippt, ich meinte [mm]\Rightarrow kgV(ord \: a, ord \: b) \; | \; ord \: [/mm]
Das kann ich doch aus $ord [mm] \: [/mm] a \ | [mm] \; [/mm] ord [mm] \: [/mm] <a,b>$ und $ord [mm] \:b \; [/mm] | <a,b>$ folgern oder? Das kgV von $ord [mm] \: [/mm] a$ und $ord [mm] \: [/mm] b$ teilt jedes weitere Vielfache der beiden Größen, also auch $ord [mm] \: [/mm] <a,b>$
Damit hätte ich ja dann schon gezeigt, was du aus 3. folgerst, oder?
>
> Zeige zuerst:
>
> 1.) <a,b> ist zyklisch mit endlicher Ordnung (hast du ja
> schon halb)
Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist wieder zyklisch. Außerdem ist G endlich, also ist auch jede Untergruppe von endlicher Ordnung. Oder?
>
> 2.) [mm]||\big| kgV(ord(a),ord(b))[/mm] (auch schnell gezeigt)
Hier finde ich keinen Ansatz, kann mir nochmal jemand einen Tipp geben?
>
> 3.) [mm]$(ab)^k[/mm] = e [mm]\Rightarrow[/mm] k [mm]\ge[/mm] kgV(ord(a),ord(b))
>
> Und aus 3.) folgt dann [mm]kgV(ord(a),ord(b)) \big| ||[/mm]
>
> und mit 2.) dann sofort [mm]|| = kgV(ord(a),ord(b))[/mm]
>
Viele Grüße, Lippel
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Huhu,
> Das kann ich doch aus [mm]ord \: a \ | \; ord \: [/mm] und [mm]ord \:b \; | [/mm]
> folgern oder? Das kgV von [mm]ord \: a[/mm] und [mm]ord \: b[/mm] teilt jedes
> weitere Vielfache der beiden Größen, also auch [mm]ord \: [/mm]
nunja, du hast schon recht
Es gilt: $a|c, b|c [mm] \Rightarrow [/mm] kgV(a,b)|c$
Die Frage ist halt nur, ob du das noch zeigen musst, oder benutzen darfst
> Damit hätte ich ja dann schon gezeigt, was du aus 3.
> folgerst, oder?
Ja.
> > 1.) <a,b> ist zyklisch mit endlicher Ordnung (hast du ja
> > schon halb)
>
> Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist wieder
> zyklisch. Außerdem ist G endlich, also ist auch jede
> Untergruppe von endlicher Ordnung. Oder?
naja, das "oder?" ist hier die Frage aller Fragen 
Dass jede Untergruppe endlich ist, ist trivial.
Entweder ihr habt schon gezeigt, dass jede UG einer zyklischen Gruppe zyklisch ist, oder du musst es hier noch zeigen.
> > 2.) [mm]||\big| kgV(ord(a),ord(b))[/mm] (auch schnell gezeigt)
> Hier finde ich keinen Ansatz, kann mir nochmal jemand
> einen Tipp geben?
Betrachte mal [mm] $(ab)^{kgv(ord(a),ord(b)}$.
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 02:53 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo, danke für deine Antwort!
> > Das kann ich doch aus [mm]ord \: a \ | \; ord \: [/mm] und [mm]ord \:b \; | [/mm]
> > folgern oder? Das kgV von [mm]ord \: a[/mm] und [mm]ord \: b[/mm] teilt jedes
> > weitere Vielfache der beiden Größen, also auch [mm]ord \: [/mm]
>
> nunja, du hast schon recht
> Es gilt: [mm]a|c, b|c \Rightarrow kgV(a,b)|c[/mm]
> Die Frage ist
> halt nur, ob du das noch zeigen musst, oder benutzen darfst
>
Stimmt, aber das [mm] $\IZ$ [/mm] ja faktoriell ist, kann man das mithilfe der Primfaktorzerlegung der Elemente und der Darstellung des kgV über die Primfaktoren von a und b noch zeigen.
>
> > Damit hätte ich ja dann schon gezeigt, was du aus 3.
> > folgerst, oder?
>
> Ja.
>
> > > 1.) <a,b> ist zyklisch mit endlicher Ordnung (hast du ja
> > > schon halb)
> >
> > Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist wieder
> > zyklisch. Außerdem ist G endlich, also ist auch jede
> > Untergruppe von endlicher Ordnung. Oder?
>
> naja, das "oder?" ist hier die Frage aller Fragen
> Dass jede Untergruppe endlich ist, ist trivial.
> Entweder ihr habt schon gezeigt, dass jede UG einer
> zyklischen Gruppe zyklisch ist, oder du musst es hier noch
> zeigen.
>
Das haben wir gezeigt.
> > > 2.) [mm]||\big| kgV(ord(a),ord(b))[/mm] (auch schnell gezeigt)
> > Hier finde ich keinen Ansatz, kann mir nochmal jemand
> > einen Tipp geben?
>
> Betrachte mal [mm](ab)^{kgv(ord(a),ord(b)}[/mm].
[mm](ab)^{kgv(ord(a),ord(b))} = a^{kgv(ord(a),ord(b))}b^{kgv(ord(a),ord(b))} = 1[/mm]
Damit habe ich gezeigt $|<ab>| [mm] \; [/mm] | [mm] \: [/mm] kgv(ord(a),ord(b)$.
Aber ich will doch eine Aussage über $|<a,b>|$. Besteht da eine Beziehung? (Steh ich sehr auf dem Schlauch?!?)
Viele Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Do 06.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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