Zykl. Vertauschen in der Spur < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Fr 28.07.2006 | | Autor: | FrankM |
Hallo,
wo ist bei folgender Überlegung der Fehler?
der Kommutator von Impuls und Ort ist ja [mm] [x,p_x] i\cdot \hbar, [/mm] also gilt für die Spur [mm] tr([x,p_x])=\infty, [/mm] da ich ja einfach die Spur bezüglich einer Konstanten bilde, jetzt kann ich aber unter der Spur zyklisch vertauschen:
[mm] tr([x,p_x])=tr(xp_x-p_xx)=tr(xp_x)-tr(p_xx)=tr(xp_x)-tr(xp_x)=tr(xp_x-xp_x)=0
[/mm]
Da muss ja irgendwo ein Fehler sein, aber wo?
Gruß
Frank
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Deine Frage hat mich doch auch sehr beschäftigt, und ich hab einfach mal ein Beispiel gerechnet, bzw den PC rechnen lassen. Also, ich hab mal typische Orts- und Impulsoperatoren benutzt. Man kann das natürlich leicht auf beliebige Dimensionen ausweiten, aber das sollte so schon reichen.
[mm]\hat{x}=\sqrt{\frac{\hbar }{2m\omega }}\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\
0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{3} & 0 \\
0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \sqrt{4} \\
0 & 0 & 0 & \sqrt{4} & 0%
\end{array}%
\right) [/mm] und [mm]\hat{p}=i\sqrt{\frac{\hbar m\omega }{2}}\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & -\sqrt{2} & 0 & 0 \\
0 & \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{3} & 0 \\
0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & -\sqrt{4} \\
0 & 0 & 0 & \sqrt{4} & 0%
\end{array}%
\right) [/mm]
Es ergibt sich
[mm]\hat{x}\hat{p}=\allowbreak \frac{i\hbar }{2}\left(
\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & -\sqrt{2} & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -\sqrt{2}\sqrt{3} & 0 \\
\sqrt{2} & 0 & 1 & 0 & -2\sqrt{3} \\
0 & \sqrt{2}\sqrt{3} & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2\sqrt{3} & 0 & -4%
\end{array}%
\right) \allowbreak \allowbreak \allowbreak [/mm] und [mm]\hat{p}\hat{x}=\allowbreak \frac{i\hbar }{2}\left(
\begin{array}{ccccc}
-1 & 0 & -\sqrt{2} & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & -\sqrt{2}\sqrt{3} & 0 \\
\sqrt{2} & 0 & -1 & 0 & -2\sqrt{3} \\
0 & \sqrt{2}\sqrt{3} & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 2\sqrt{3} & 0 & 4%
\end{array}%
\right) [/mm]
und alles in allem [mm]\left[ \hat{x};\hat{p}\right] \allowbreak \allowbreak \allowbreak =\hat{x}%
\hat{p}-\hat{p}\hat{x}=i\hbar \left(
\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -4%
\end{array}%
\right)[/mm]
Im endlichen Fall gilt tr(xp)=tr(px)=tr(xp-px)=0, das macht das rechte untere Element immer. Hier gilt insbesondere tr(xp)=tr(px)
Im unendlichen gibt es dieses rechte, untere Element eben nicht, und hier kommt dann erstaunlicherweise raus, daß tr(xp)=-tr(px) ist!!!
Damit sollte das klar sein, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Mo 31.07.2006 | | Autor: | FrankM |
Hallo Sebastian,
vielen Dank für deine Mühe, ein Problem ist glaube ich auch schon, dass man die Summe auseinander zieht also, aus tr(xp-px) einfach tr(xp)-tr(px), das entspricht ja effektiv einer Umordnung der Reihe, was ja nur bei absolut konvergenten Reihen ohne Probleme geht (Stichwiort Riemannscher Umordnungssatz).
Gruß
Frank
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Hmh nee, ich habe mittlerweile irgendwo gelesen, daß tr(AB)=tr(BA) wirklich nur für endliche Matrizen gilt. Dein Auseinanderziehen müßte aber erlaubt sein.
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