www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Zwischwertsatz/Satz von Rolle
Zwischwertsatz/Satz von Rolle < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Zwischwertsatz/Satz von Rolle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:12 Mi 11.04.2012
Autor: sissile

Aufgabe
Sei f(x) = $ [mm] e^x [/mm] $ sin(x). MAn zeige,

(b) mit Hilfe des Satzes von Rolle (angewendet auf f) und  (als Alternative) mit Hilfe des Zwischenwertsatzes (angewendet auf f'), dass es ein $ [mm] x_0 \in [/mm] $ (0, $ [mm] \pi/2) [/mm] $ gibt mit $ [mm] f'(x_0) [/mm] $ = 0

f'(x) = [mm] e^x [/mm] * sin(x) + [mm] e^x [/mm] * cos(x)

f(0)=0
[mm] f(\pi/2)=e^{\pi/2} [/mm]

f'(0)=1
[mm] f'(\pi/2) [/mm] = [mm] e^{\pi/2} [/mm]

Wenn ich den Satz von ROlle anwende muss aber f(a) mit f(b) übereinstimmen.
Eimne Funktion, die im offenen Intervall (a,b) differenzierbar und und im abgeschlossen Intervall stetig  ist und außerdem f(a) = f(b) erfüllt, hat an  mindestens einer Stelle [mm] x_0 [/mm] aus (a,b) die Ableitung Null-

Und beim Zwischenwertsatz muss doch f(a) < 0 und f(b)>0 oder umgekehrt sein um in anwenden zu können?


Wo ist mein Gedankenfehler?


        
Bezug
Zwischwertsatz/Satz von Rolle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:53 Mi 11.04.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Sei f(x) = [mm]e^x[/mm] sin(x). MAn zeige,
>  
> (b) mit Hilfe des Satzes von Rolle (angewendet auf f) und  
> (als Alternative) mit Hilfe des Zwischenwertsatzes
> (angewendet auf f'), dass es ein [mm]x_0 \in[/mm] (0, [mm]\pi/2)[/mm] gibt
> mit [mm]f'(x_0)[/mm] = 0
>  f'(x) = [mm]e^x[/mm] * sin(x) + [mm]e^x[/mm] * cos(x)
>  
> f(0)=0
>  [mm]f(\pi/2)=e^{\pi/2}[/mm]
>  
> f'(0)=1
>  [mm]f'(\pi/2)[/mm] = [mm]e^{\pi/2}[/mm]
>  
> Wenn ich den Satz von ROlle anwende muss aber f(a) mit f(b)
> übereinstimmen.
>  Eimne Funktion, die im offenen Intervall (a,b)
> differenzierbar und und im abgeschlossen Intervall stetig  
> ist und außerdem f(a) = f(b) erfüllt, hat an  mindestens
> einer Stelle [mm]x_0[/mm] aus (a,b) die Ableitung Null-
>  
> Und beim Zwischenwertsatz muss doch f(a) < 0 und f(b)>0
> oder umgekehrt sein um in anwenden zu können?
>  
>
> Wo ist mein Gedankenfehler?

  
ich nehme an, in der Aufgabenstellung ist ein Tippfehler:
Anstatt [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $[0,\pi/2]$ [/mm] sollte man wohl eher [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $[0,\red{\pi}]$ [/mm] betrachten.

Den Hinweis kannst Du gerne dem Aufgabensteller geben.

Denn:
[mm] $f(x)=e^x*\sin(x)$ [/mm] hat als Ableitung [mm] $f'(x)=e^x*\sin(x)+e^x*\cos(x)=e^x(\sin(x)+\cos(x))\,,$ [/mm] und es ist leicht einzusehen, dass [mm] $\sin(x)+\cos(x) [/mm] > 0$ auf [mm] $[0,\pi/2]$ [/mm] gilt [mm] ($e^x [/mm] > 0$ gilt ja eh für alle reellen [mm] $x\,$): $f\,$ [/mm] ist dort also streng monoton wachsend!

Ein Plot bestätigt das auch!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Zwischwertsatz/Satz von Rolle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:05 Mi 11.04.2012
Autor: sissile

Okay, der Satz von rolle ist nun verständlich da
[mm] f(0)=f(\pi) [/mm]
Und dann kann man ja den Satz anwenden.

Und beim Zwischenwertsatz auf f' angewandt
f'(x) = $ [mm] e^x [/mm] $ * sin(x) + $ [mm] e^x [/mm] $ * cos(x)

f'(0)=1
[mm] f'(\pi) [/mm]  =  - [mm] e^{\pi} [/mm]
kann man den Zwischenwertsatz anwenden

Muss man in der Aufgabe noch viel mehr machen?
LG

Bezug
                        
Bezug
Zwischwertsatz/Satz von Rolle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:59 Mi 11.04.2012
Autor: angela.h.b.


> Muss man in der Aufgabe noch viel mehr machen?

Hallo,

nein.
Nur gut aufschreiben.

LG Angela


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]