Zweite Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Mi 15.01.2014 | | Autor: | wilmi |
| Aufgabe | Zeige mittels der Regel von l´Hospital die Gültigkeit von
[mm] \lim_{h \rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} [/mm] = f´´(x) |
Ich habe l Hospital angewendet, da sowohl Zähler als auch Nenner für h --> 0 gegen 0 streben.
Jetzt habe ich die Funktion im Nenner und im Zähler nach h abgeleitet.
Damit ist [mm] lim_{h \rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} [/mm] = [mm] lim_{h \rightarrow 0}\bruch{f´(x+h)+f´(x-h)}{2h}.
[/mm]
Da -2f(x) nicht von h abhängt fällt dieser Term weg.
Und hier beginnt mein Problem:
Zwar strebt der Nenner für h gegen 0 auch gegen 0, allerdings der Zähler nicht. Und da weiß ich nicht weiter wie ich auf =f´´(x). Wenn ich wieder Zähler und Nenner ableiten dürfte könnte ich kürzen und ich wäre fertig...Aber da ich dies nicht darf weiß ich nicht weiter. Habt ihr eine Idee?
Viele Grüße
Wilmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Mi 15.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Zeige mittels der Regel von l´Hospital die Gültigkeit
> von
> [mm]\lim_{h \rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}[/mm] =
> f´´(x)
> Ich habe l Hospital angewendet, da sowohl Zähler als auch
> Nenner für h --> 0 gegen 0 streben.
>
> Jetzt habe ich die Funktion im Nenner und im Zähler nach h
> abgeleitet.
> Damit ist [mm]lim_{h \rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}[/mm]
> = [mm]lim_{h \rightarrow 0}\bruch{f´(x+h)+f´(x-h)}{2h}.[/mm]
> Da
> -2f(x) nicht von h abhängt fällt dieser Term weg.
>
> Und hier beginnt mein Problem:
> Zwar strebt der Nenner für h gegen 0 auch gegen 0,
> allerdings der Zähler nicht. Und da weiß ich nicht weiter
> wie ich auf =f´´(x). Wenn ich wieder Zähler und Nenner
> ableiten dürfte könnte ich kürzen und ich wäre
> fertig...Aber da ich dies nicht darf weiß ich nicht
> weiter. Habt ihr eine Idee?
Doch du darfst das, denn du hast einen Fehler gemacht.
Was ist denn die Ableitung von f(x-h) nach $h$ 
>
> Viele Grüße
> Wilmi
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mi 15.01.2014 | | Autor: | wilmi |
Hallo DieAcht, das ging ja schnell :) Ach... da grübel ich hin und her... Die Ableitung von f(x-h) nach h ist -f(x-h). Und dann kann ich wieder l Hospital anwenden?
Lg Wilmi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Mi 15.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hi,
> Hallo DieAcht, das ging ja schnell :) Ach... da grübel ich
> hin und her... Die Ableitung von f(x-h) nach h ist -f(x-h).
> Und dann kann ich wieder l Hospital anwenden?
>
Genau
> Lg Wilmi
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Mi 15.01.2014 | | Autor: | wilmi |
Super :) Vielen Dank. Manchmal ist man einfach zu blind.
LG Wilmi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo DieAcht, das ging ja schnell :) Ach... da grübel ich
> hin und her... Die Ableitung von f(x-h) nach h ist -f(x-h).
Mitnichten und Mitneffen ! Die Ableitung von f(x-h) nach h ist -f'(x-h).
FRED
> Und dann kann ich wieder l Hospital anwenden?
>
> Lg Wilmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:40 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeige mittels der Regel von l´Hospital die Gültigkeit
> von
> [mm]\lim_{h \rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}[/mm] =
> f´´(x)
Ergänzend: man sollte f als 2 mal stetig differenzierbar voraussetzen.
FRED
> Ich habe l Hospital angewendet, da sowohl Zähler als auch
> Nenner für h --> 0 gegen 0 streben.
>
> Jetzt habe ich die Funktion im Nenner und im Zähler nach h
> abgeleitet.
> Damit ist [mm]lim_{h \rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}[/mm]
> = [mm]lim_{h \rightarrow 0}\bruch{f´(x+h)+f´(x-h)}{2h}.[/mm]
> Da
> -2f(x) nicht von h abhängt fällt dieser Term weg.
>
> Und hier beginnt mein Problem:
> Zwar strebt der Nenner für h gegen 0 auch gegen 0,
> allerdings der Zähler nicht. Und da weiß ich nicht weiter
> wie ich auf =f´´(x). Wenn ich wieder Zähler und Nenner
> ableiten dürfte könnte ich kürzen und ich wäre
> fertig...Aber da ich dies nicht darf weiß ich nicht
> weiter. Habt ihr eine Idee?
>
> Viele Grüße
> Wilmi
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