Zweig der Logarithmusfunktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Di 10.07.2007 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | Sei [mm] \ln_a [/mm] der Zweig des Logarithmus zu [mm] a\in\IR [/mm] .
Berechne folgende Werte:
[mm]\ln_0(i-1)[/mm] und [mm] \ln_{\pi}(1+\wurzel{2})[/mm]? |
[mm]\ln_0(i-1) = \ln \wurzel{2} + i \bruch{3*\pi}{4}= \bruch{1}{2}\ln 2 + \bruch{3*\pi*i}{4}[/mm]
Warum ist [mm](i-1) = \wurzel{2} e^{\bruch {i*3*\pi}{4}[/mm]???
[mm]\ln_{\pi}(1+\wurzel{2})= \ln 2+ i\bruch{\pi}{3}[/mm]
Wie kommt man auf [mm] (1+ \wurzel{3}i)=2* e^\bruch{i*\pi}{3}[/mm]??
Wäre super wenn mir das jemand erklären könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:04 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Fulla |
Hi TTaylor!
Sicher weißt du, dass man jede komplexe Zahl in der Form [mm] $r*e^{i\phi}=r*(\cos{\phi}+i*\sin{\phi})$ [/mm] darstellen kann.
Das wurde bei den Umformungen ausgenutzt:
[mm] $r=|i-1|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow i-1=\sqrt{2}*\left(\frac{i}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i*\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
[/mm]
Es gilt ja [mm] $\cos{\frac{3\pi}{4}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ [/mm] und [mm] $\sin{\frac{3\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ [/mm]
Also [mm] $\Rightarrow i-1=\sqrt{2}\left(\cos{\frac{3\pi}{4}}+i*\sin{\frac{3\pi}{4}}\right)=\sqrt2*e^{i*\frac{3\pi}{4}}$
[/mm]
Für [mm] $1+\sqrt3 [/mm] *i$ gehst du genauso vor:
[mm] $1+\sqrt3 *i=2*\left(\frac{1}{2}+i*\frac{\sqrt3}{2}\right)=2*\left(\cos\frac{\pi}{3}+i*\sin{\frac{\pi}{3}}\right)=2*e^{i*\frac{\pi}{3}}$
[/mm]
Jetzt ist alles klar, oder?
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Fr 13.07.2007 | | Autor: | TTaylor |
Hallo Fulla,
Ich kapiere immer noch nicht wie man darauf kommt,dass:
[mm]r=|i-1|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}[/mm]ist??
Wie komme ich da auf -1 oder auf 1?
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> Hallo Fulla,
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> Ich kapiere immer noch nicht wie man darauf kommt,dass:
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> [mm]r=|i-1|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}[/mm]ist??
> Wie komme ich da auf -1 oder auf 1?
Allgemein ist doch [mm] $|z|=\sqrt{|z|^2} [/mm] = [mm] \sqrt{z \overline{z}} [/mm] = [mm] \sqrt{\Re^2(z)+\Im^2(z)}$. [/mm] Für [mm] $z=\mathrm{i}-1$ [/mm] ist einfach [mm] $\Re(z)=-1$ [/mm] und [mm] $\Im(z)=1$. [/mm] Daher: [mm] $|\mathrm{i}-1|=\sqrt{\Re^2(\mathrm{i}-1)+\Im^2(\mathrm{i}-1)}=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Fr 13.07.2007 | | Autor: | TTaylor |
Danke, ich habe es jetzt endlich kapiert.
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