Zwei Wendestellen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Do 21.02.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo^^
Also es geht um folgende Aufgabe:
Zeigen Sie,dass [mm] f(x)=x^{4}+ax^{3} [/mm] für a>0 stets zwei Wendepunkte besitzt.
Gilt dies auch für die angeänderte Funktion [mm] f(x)=x^{4}+ax^{2}?
[/mm]
Also ich hab zunächst die Ableitungen gebildet
[mm] f'(x)=4x^{3}+3ax^{2}
[/mm]
[mm] f''(x)=12x^{2}+6ax
[/mm]
f'''(x)=24x+6a
Ok,für a durfte man sich ja irgendeinen wert aussuchen der >0 sein muss,also hab ich einfach mal die 2 genommen
Durch 2.Ableitung =0 setzen hab ich für x=-1 raus bekommen.
Dann hab ich -1 in die 3.Ableitung gesetzt und da kam [mm] -12\not= [/mm] raus,also liegt hier eine Wendestelle,aber ich weiß net,wie ich die 2.Wendestelle rausbekommen kann.Ich glaub da kann man zwar für a nen anderen Wert einsetzen,aber dann gäbe es ja noch viele mehr Wendestellen und nicht nur 2???
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Hallo zurück^^
Du sollst ja zeigen das es für jedes a>0 zwei Wendestellen gibt. Du hast jetzt als zweite Ableitung [mm] $f''(x)=12x^2+6ax$. [/mm] Jetzt sucht du ja die Nullstellen der Zweiten Ableitung. also [mm] $12x^2+6ax=0$. [/mm] Jetzt kannst du einmal das x Ausklammern. Dnn steht da $x*(12x+6*a)$. Das ist ja genau dann Null wenn einer der beiden Faktoren Null wird. Also sind ist die erste Wendestelle [mm] x_{1}=..... [/mm] Für die zweite Wendestelle ist dann der zweite Faktor $12x+6a=0$. Dann ist [mm] x_{2}=....... [/mm] Jetzt musst du noch mit Hilfe der dritten Ableitung prüfen ob [mm] f(x_{k})\not=0 [/mm] k={1,2}. Dann hast du das in aller Allgemeinheit gezeigt. Einfach mal für a einen Wert einsetzten reicht da nicht.
Freundliche Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Do 21.02.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok, für [mm] x_{1} [/mm] hab ich dann 0 raus und für [mm] x_{2}=-0,5a [/mm] Muss ich jetzt an dieser Stelle einen Wert für a einsetzen??. Und wo kommt das k=1,2 her??Das versteh ich net so ganz ^^
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Hallo Mandy,
> Ok, für [mm]x_{1}[/mm] hab ich dann 0 raus und für [mm]x_{2}=-0,5a[/mm] Muss
> ich jetzt an dieser Stelle einen Wert für a einsetzen??.
Jetzt muß eine Fallunterscheidung bezüglich a gemacht werden.
> Und wo kommt das k=1,2 her??Das versteh ich net so ganz ^^
[mm]k=1[/mm] steht für [mm]x_{k}=x_{1}[/mm], also die erste Lösung.
[mm]k=2[/mm] steht für [mm]x_{k}=x_{2}[/mm], also die zweite Lösung.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Fr 22.02.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Aber warum denn eine Fallunterscheidung??hier soll doch a>0 sein,also z.B. a=5 wäre dann -2.5 oder??
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Hallo,
wenn ich nichts übersehen habe, bist Du bei der Berechnung der Wendpunkte von $ [mm] f(x)=x^{4}+ax^{3} [/mm] $ ,
und Du hast erhalten, daß f''(x)=0 <==> x=0 oder x=-0.5a.
Dies Punkte sind Stellen, an denen die Funktion Wendepunkte haben könnte.
Um sicher zu sein, mußt Du nun in die dritte Ableitung einsetzen, und nachschauen, ob f'''(0) und f'''(-0.5a) immer, also für alle a>0, ungleich 0 sind. (Sie sind.)
Gruß v. Angela
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