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| Aufgabe | Es seien V ein reeller Vektorraum und [mm] {<.,.>}_{1} [/mm] , [mm] {<.,.>}_{2} [/mm] zwei Skalarprodukte auf V. Für alle x,y [mm] \in [/mm] V gelte:
[mm] {}_{1} [/mm] =0 [mm] \gdw {}_{2}=0.
[/mm]
Zeigen Sie: Es gibt ein c>0 mit
[mm] {}_{2} =c{}_{1} [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] V. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hiho zusammen.
Mir fehlt zu obiger Aufgabe leider jeglicher Ansatz :/
Hat vllt jmd Ansätze/ideen/Lösungsvorschläge? Bin für alles dankbar =)
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 So 17.05.2009 | | Autor: | felixf |
Moin
> Es seien V ein reeller Vektorraum und [mm]{<.,.>}_{1}[/mm] ,
Endlichdimensional oder auch unendlichdimensional?
> [mm]{<.,.>}_{2}[/mm] zwei Skalarprodukte auf V. Für alle x,y [mm]\in[/mm] V
> gelte:
> [mm]{<.,.>}_{1}[/mm] =0 [mm]\gdw {<.,.>}_{2}=0.[/mm]
Du solltest $x$ und $y$ schon einstezen.
> Zeigen Sie: Es gibt
> ein c>0 mit
> [mm]{<.,.>}_{2} =c{<.,.>}_{1}[/mm] für alle x,y [mm]\in[/mm] V.
Hier ebenfalls.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hiho zusammen.
> Mir fehlt zu obiger Aufgabe leider jeglicher Ansatz :/
> Hat vllt jmd Ansätze/ideen/Lösungsvorschläge? Bin für alles
> dankbar =)
Fang doch erstmal mit einem Spezialfall an: $V = [mm] \IR^n$, [/mm] $<.,.>_1$ das Standardskalarprodukt und $<x,y>_2 = [mm] \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i y_i$ [/mm] mit [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \IR_{>0}$.
[/mm]
Den Fall, das $V$ endlichdimensional ist, kannst du immer auf diesen Fall zurueckfuehren (waehle eine ON-Basis bzgl. $<.,.>_1$ und schau bzgl dieser Basis die Matrix von $<.,.>_2$ an, diese ist symmetrisch... was folgt daraus?)...
Fuer den unendlichdimensionalen Fall kannst du das ganze auf den endlichdimensionalen Fall zurueckfuehren: falls es ein solches $c$ nicht gibt, kannst du das ganze auf einen zweidimensionalen Fall einschraenken wo es auch schon schiefgeht, und demnach waere die Voraussetzung verletzt. (Das musst du jetzt aber noch genauer aufschreiben.)
Eventuell kann man es auch gleich ganz allgemein recht einfach beweisen, vielleicht bekommst du beim Beweis des Spezialfall eine Idee.
LG Felix
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Hallo Felix, erstmal vielen Dank für deine Antwort. Leider bin ich dadurch zu noch immer keinem Ergebnis gekommen.
Nochmal zusammengefasst: eine ONB bzgl dem ersten Skalarprodukt ist auch eine ONB bzgl dem zweiten. Die Matritzen bzgl beider Skalarprodukte sind symmetrisch (damit sind die Fundamentalmatritzen gemeint?), also lassen sich auch beide diagonalisieren. Hab ich das so alles richtig verstanden?
Woher weiß ich nun ob die Diagonalelemente der einen Matrix gerade ein Vielfaches der anderen Matrix sind?
LG Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:12 Mo 18.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Markus
> Hallo Felix, erstmal vielen Dank für deine Antwort. Leider
> bin ich dadurch zu noch immer keinem Ergebnis gekommen.
> Nochmal zusammengefasst: eine ONB bzgl dem ersten
> Skalarprodukt ist auch eine ONB bzgl dem zweiten.
Nein, das stimmt nicht.
> Die
> Matritzen bzgl beider Skalarprodukte sind symmetrisch
> (damit sind die Fundamentalmatritzen gemeint?), also lassen
> sich auch beide diagonalisieren.
Ja, ich meine die Fundamentalmatrizen. Oder die Gram-Matrizen. Oder wie auch immer ihr die nennt.
Und ja, sie lassen sich diagonalisieren. Sogar durch eine ON-Basis.
Also, nochmal von vorne:
- nimm eine ON-Basis bzgl dem ersten Skalarprodukt
- wenn du die Matrix des zweiten Skalarproduktes bzgl dieser Basis anschaust, ist diese symmetrisch
- d.h. es gibt eine ON-Basis bzgl dem Standardskalarprodukt auf [mm] $\IR^n$, [/mm] bzgl der die zweite Matrix Diagonalform hat
- jetzt musst du diese zweite ON-Basis ueber den Isomorphismus $V [mm] \to \IR^n$, [/mm] der durch die erste Basis erzeugt wird, zurueckziehen und erhaelst damit eine ON-Basis (bzgl dem 1. Skalarprodukt) von $V$, bzgl der die Fundamentalmatrix des zweiten Skalarproduktes Diagonalform hat
(Die Fundamentalmatrix des ersten Skalarprodukts bzgl jeder ON-Basis bzgl sich selbst ist die Einheitsmatrix.)
> Woher weiß ich nun ob die Diagonalelemente der einen
> Matrix gerade ein Vielfaches der anderen Matrix sind?
Nun, das musst du dann zeigen. Allerdings hast die Skalarprodukte jetzt viel einfacher gegeben.
LG Felix
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Hallo Felix, sorry, dass ich so lange nicht geantwortet hab.
Danke nochmal für deine Hilfe, Aufgabe ist mittlerweile gelöst.
LG
Markus
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