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Forum "Funktionalanalysis" - Zwei Funkt mit Konst. im Intv.
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Zwei Funkt mit Konst. im Intv.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Sa 09.06.2012
Autor: bammbamm

Aufgabe
Gegeben sind die Funktionen f:[0,2] [mm] \to \IR: [/mm] x [mm] \mapsto -x^2+2*x [/mm] und [mm] g_{\alpha}: [/mm] [0,2] [mm] \mapsto \IR: [/mm] x [mm] \mapsto 2*x+\alpha [/mm] für [mm] \alpha \in \IR [/mm]

Bestimmen Sie die Teilmenge I [mm] \subseteq \IR [/mm] der Elemente [mm] \alpha, [/mm] für welche
{x [mm] \in [/mm] [0,2] | f(x) = [mm] g_{\alpha}(x)}\not=\emptyset [/mm]

Geben Sie für jedes [mm] \alpha \in [/mm] I die Menge {x [mm] \in [/mm] [0,2] |  f(x) = [mm] g_{\alpha}(x)} [/mm] explizit an.

Wenn ich das nun richtig verstehe (und ich bin fast sicher das tue ich nicht :-) ) dann wäre f(x) genau dann gleich [mm] g_{\alpha} [/mm] für [mm] \alpha=-x^2 [/mm]

Die Aufgabe wäre aber ziemlich sinnlos, wäre es so.



        
Bezug
Zwei Funkt mit Konst. im Intv.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 Sa 09.06.2012
Autor: leduart

Hallo
genau das ist das ergebnis, nun schreib die Mengen hin abhängig von [mm] \alpha. [/mm] wahrscheinlich sollst du genau das üben.
also für [mm] \alpha<0, [/mm]  =0  >0 und dann noch ne weitere Fallunerscheidung.
Gruss leduart

Bezug
                
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Zwei Funkt mit Konst. im Intv.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Sa 09.06.2012
Autor: bammbamm


> Hallo
>  genau das ist das ergebnis, nun schreib die Mengen hin
> abhängig von [mm]\alpha.[/mm] wahrscheinlich sollst du genau das
> üben.
>  also für [mm]\alpha<0,[/mm]  =0  >0 und dann noch ne weitere
> Fallunerscheidung.
>  Gruss leduart

Ich verstehe nicht so ganz.
[mm] \alpha=-x^2 [/mm] ist also korrekt ? Wie soll ich dann die Menge abhängig von [mm] \alpha [/mm] angeben ? Die Werte stimmen doch dann für f(x) und [mm] g_{\alpha} [/mm] sowieso immer überein ?

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Zwei Funkt mit Konst. im Intv.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Sa 09.06.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich verstehe nicht so ganz.  [mm]\alpha=-x^2[/mm] ist also korrekt ?

Ja.

> Wie soll ich dann die Menge abhängig von [mm]\alpha[/mm] angeben ? Die Werte stimmen doch dann für f(x) und [mm]g_{\alpha}[/mm] sowieso immer überein ?

Machen wir es doch mal konkret.
Wie sieht die Menge denn aus für [mm] $\alpha [/mm] = -1, [mm] \alpha= [/mm] 0, [mm] \alpha [/mm] = 1$?

MFG,
Gono.


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Zwei Funkt mit Konst. im Intv.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Sa 09.06.2012
Autor: bammbamm

Naja. Für [mm] \alpha=-1 [/mm] wäre es [mm] x=-i^2 [/mm] (also für [mm] \alpha<0 x=-i^2*k, [/mm] k [mm] \in \IR) [/mm]
Für [mm] \alpha=0 [/mm] wäre es x=0
Für [mm] \alpha=1 [/mm] wäre es x=1 bzw x=-1 (also für [mm] \alpha [/mm] > 0, x [mm] \in \IR) [/mm]

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Zwei Funkt mit Konst. im Intv.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:00 So 10.06.2012
Autor: leduart

Hallo
für [mm] \alpha>0 [/mm] keine Lösung also leere Menge, für [mm] \alpha<-4 [/mm] keine Lösung in [0,2] .usw  Man soll wohl nur Aufgaben genau lesen lernen!
gruss leduart

Bezug
                                                
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Zwei Funkt mit Konst. im Intv.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:17 Mo 11.06.2012
Autor: bammbamm

> Hallo
>  für [mm]\alpha>0[/mm] keine Lösung also leere Menge, für
> [mm]\alpha<-4[/mm] keine Lösung in [0,2] .usw  Man soll wohl nur
> Aufgaben genau lesen lernen!
>  gruss leduart

Tut mir Leid. Ich steig momentan noch nicht so ganz durch.
Für [mm] \alpha [/mm] > 0 und x=2 bekäme ich ja 4 raus, das liegt ja nun nicht in meinem Intervall. Wieso aber keine Lösung für [mm] \alpha [/mm]  < -4 ? Das wäre ja noch in meinem Intervall ?
Also müsste gelten [mm] \alpha \le [/mm] -2 und [mm] \alpha \ge [/mm] -4 für x=2


Bezug
                                                        
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Zwei Funkt mit Konst. im Intv.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Mo 11.06.2012
Autor: fred97


>  > Hallo

>  >  für [mm]\alpha>0[/mm] keine Lösung also leere Menge, für
> > [mm]\alpha<-4[/mm] keine Lösung in [0,2] .usw  Man soll wohl nur
> > Aufgaben genau lesen lernen!
>  >  gruss leduart
>
> Tut mir Leid. Ich steig momentan noch nicht so ganz durch.
>  Für [mm]\alpha[/mm] > 0 und x=2 bekäme ich ja 4 raus,


Hä ? Für [mm]\alpha[/mm] > 0 hat die Gleichung [mm] x^2=- \alpha [/mm] keine Lösung !!!

> das liegt
> ja nun nicht in meinem Intervall. Wieso aber keine Lösung
> für [mm]\alpha[/mm]  < -4 ?


Wenn [mm] \alpha<-4, [/mm] so ist $- [mm] \alpha>4$. [/mm] Ist dann x so, dass [mm] x^2=- \alpha [/mm] ist, so ist [mm] x^2>4, [/mm] also x [mm] \notin [/mm] [0,2]

FRED


>  Das wäre ja noch in meinem Intervall
> ?
>   Also müsste gelten [mm]\alpha \le[/mm] -2 und [mm]\alpha \ge[/mm] -4 für
> x=2
>  


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Zwei Funkt mit Konst. im Intv.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:52 Mo 11.06.2012
Autor: bammbamm

Ok, also muss für [mm] \alpha [/mm] gelten: -4 < [mm] \alpha [/mm] < 0 bzw. für die Menge:
I [mm] \in [/mm] ]-4,0[

Nun soll ich aber für jedes  [mm] \alpha \in [/mm]  I die Menge {x [mm] \in [/mm] [0,2] |  f(x) =  [mm] g_{\alpha}(x)} [/mm] explizit angeben. Das müsste ja hiermit erledigt sein ?

Desweiteren sollen f und [mm] g_{\alpha} [/mm] für [mm] \alpha \in [/mm] I die Fläche [mm] F_\alpha [/mm] einschließen welche berechnet werden soll. Soll hier das Integral in der Art a < [mm] F_\alpha [/mm] < b berechnet werden wobei a und b für die Intervallgrenzen von x bzw [mm] \alpha [/mm] stehen ?

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Zwei Funkt mit Konst. im Intv.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 Mo 11.06.2012
Autor: leduart

Hallo
mach eine Skizze für ein  zulässiges [mm] \alpha, [/mm] dann siehst du die Fläche, die du berechnen sollst in Abh. von [mm] \alpha [/mm]  die ist natürlich durch ein Integral zu berechnen. was du schreibst ist ja sehr allgemein, warum du da Schranken a,b  für die Fläche haben willst versteh ich nicht, besser du zitierst die orginalaufgabe.
Gruss leduart

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