Zwei Fragen zu Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe zwei Fragen zur Vektorrechnung.
1. Gegeben sei eine Gerade g mit r(P) = (1 2 5) + a (2 5 2)
r(P) ist ein auf der Gerade g laufender Punkt. a ist eine variable Grösse. Die Zahlen in den Klammern sollen Vektoren darstellen. Ich weiss leider nicht wie ich die hier anders darstellen kann.
Weiter gegeben sei ein Punkt Q = (8 5 7)
Nun soll durch den Punkt Q eine Normale zur Geraden g gemacht werden, also durch den Punkt Q eine Gerade, welche zur Gerade g senkrecht ist.
Wie macht man das? Eine Möglichkeit wäre ja per Skalarprodukt einen senkrechten Vektor zum Vektor (2 5 2) herzustellen und dann diesen neuen Vektor am Punkt Q angreifen zu lassen. Allerdings funktioniert dies wohl nur im 2D - Raum.
2. Gegeben sei eine Gerade g der Aufgabe 1 mit r(P) = (1 2 5) + a (2 5 2)
Wie bekomme ich nun aus dieser Gerade die Komponentendarstellung also z.B. y = f(x,z) = 5x + 7z + 6?
Bei einer 2D - Geraden weiss ich wie es geht: Zwei Punkte der Geraden bestimmen, dann kann man die Steigung der Geraden berechnen (wäre ja dann das "a" in y = ax + c) und das c. Bei einer 3D - Geraden geht das aber nicht mehr.
Das selbe Problem habe ich bei der Ebenengleichung. Also wie man von der Vektordarstellung der Ebene zur Komponentendarstellung (ax + by + cz + d = 0) kommt. Aber das Verfahren wird wohl dann gleich sein wie bei der Geraden.
So, das wäre jetzt alles. Ich hoffe ihr könnt mir helfen und wünsche einen schönen Abend.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?p=635324#post635324
http://www.schoolwork.de/forum/beitrag_41468.html#41468
http://www.infmath.de/thread.php?threadid=5227
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 Fr 06.07.2007 | | Autor: | Sax |
zu 1. :
Deine Idee funktioniert wirklich nur in der Ebene, weil es im Raum unendlich viele (nichtkollineare) Vektoren gibt, die zu einem gegebenen Vektor (hier : [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 2} [/mm] ) orthogonal sind.
Du musst eine Ebene konstruieren, die zur gegebenen Gerade senkrecht steht und den Punkt Q enthält. Dann bestimmst Du den Schnittpunkt S dieser Ebene mit der gegebenen Geraden und erhälst die Gerade [mm] \overline{SQ} [/mm] als Lösung.
zu 2. :
Deine Gleichung y=f(x,z) ist eine Ebenengleichung. Es gibt keine Koordinatengleichung einer Geraden im Raum.
Eine Gerade ist der Schnitt zweier solcher Ebenen. Diese bekommst Du, indem Du die Geradengleichung [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 5} [/mm] + a [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 2} [/mm] in drei Gleichungen schreibst (x = 1 + 2a , ...), eine davon nach a auflöst und in die anderen beiden einsetzt.
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