www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Zusammenhängender metrischer R
Zusammenhängender metrischer R < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Zusammenhängender metrischer R: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:31 Sa 22.02.2020
Autor: Psychopath

Wenn ich [mm] M=[0,1)\cup(1,2] [/mm] habe, und soll beweisen, dass diese Menge  unzusammenhängend ist, dann muss ich doch diese Menge durch die Vereinigung von zwei offenen, nicht-leeren Mengen ausdrücken können, sagt die Definition.

Wie würden diese offenen, nicht-leeren Mengen denn heißen? Bei der Vereinigung der zwei offenen Mengen [mm] (0,1)\cup(1,2) [/mm] würde ja die 0 bzw. die 2 fehlen.


NACHTRAG: Anscheinend sind [0,1) doch offen, es kommt wohl auf die Metrik an. Wollte den Beitrag daher löschen, habe aber das Löschfeld nicht gefunden. Sorry

        
Bezug
Zusammenhängender metrischer R: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Sa 22.02.2020
Autor: fred97


> Wenn ich [mm]M=[0,1)\cup(1,2][/mm] habe, und soll beweisen, dass
> diese Menge  unzusammenhängend ist, dann muss ich doch
> diese Menge durch die Vereinigung von zwei offenen,
> nicht-leeren Mengen ausdrücken können, sagt die
> Definition.
>
> Wie würden diese offenen, nicht-leeren Mengen denn
> heißen? Bei der Vereinigung der zwei offenen Mengen
> [mm](0,1)\cup(1,2)[/mm] würde ja die 0 bzw. die 2 fehlen.
>
> NACHTRAG: Anscheinend sind [0,1) doch offen, es kommt wohl
> auf die Metrik an.

Ich habe Zweifel daran, ob Du das Richtige meinst. Zunächst habe wir  die übliche  Metrik
auf  [mm] \IR. [/mm] Diese schränken wir auf  M  ein. Mit dieser Einschränkung  ist M ein metrischer Raum.
Eine Teilmenge von M ist genau dann offen in M (in der  Spurtopologie ), wenn sie sich darstellen lässt als Schnitt von M mit einer in [mm] \IR [/mm] offenen Menge.

Die in obiger Darstellung von M beteiligten halboffenen Intervalle sind offen in M (warum? ).


> Wollte den Beitrag daher löschen, habe
> aber das Löschfeld nicht gefunden. Sorry


Bezug
                
Bezug
Zusammenhängender metrischer R: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:44 So 23.02.2020
Autor: Psychopath


> Die in obiger Darstellung von M beteiligten halboffenen Intervalle sind offen in M (warum? ).

Von mir vermutete Antwort:
Wenn ich einen metrischen Raum (M,d) habe, dann ist M automatisch offen.
Habe ich zumindest gerade im Internet gefunden.




Bezug
                        
Bezug
Zusammenhängender metrischer R: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:28 So 23.02.2020
Autor: fred97


> > Die in obiger Darstellung von M beteiligten halboffenen
> Intervalle sind offen in M (warum? ).
>  
> Von mir vermutete Antwort:
>  Wenn ich einen metrischen Raum (M,d) habe, dann ist M
> automatisch offen.
> Habe ich zumindest gerade im Internet gefunden.

Richtig ist, dass M offen ist. Das  beantwortet aber meine obige Frage  nicht.

>
>
>  


Bezug
                
Bezug
Zusammenhängender metrischer R: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:49 So 23.02.2020
Autor: Psychopath


> > Wenn ich [mm]M=[0,1)\cup(1,2][/mm] habe, und soll beweisen, dass
> > diese Menge  unzusammenhängend ist, dann muss ich doch
> > diese Menge durch die Vereinigung von zwei offenen,
> > nicht-leeren Mengen ausdrücken können, sagt die
> > Definition.
> >
> > Wie würden diese offenen, nicht-leeren Mengen denn
> > heißen? Bei der Vereinigung der zwei offenen Mengen
> > [mm](0,1)\cup(1,2)[/mm] würde ja die 0 bzw. die 2 fehlen.
> >
> > NACHTRAG: Anscheinend sind [0,1) doch offen, es kommt wohl
> > auf die Metrik an.
>  
> Ich habe Zweifel daran, ob Du das Richtige meinst.
> Zunächst habe wir  die übliche  Metrik
> auf  [mm]\IR.[/mm] Diese schränken wir auf  M  ein. Mit dieser
> Einschränkung  ist M ein metrischer Raum.
> Eine Teilmenge von M ist genau dann offen in M (in der  
> Spurtopologie ), wenn sie sich darstellen lässt als
> Schnitt von M mit einer in [mm]\IR[/mm] offenen Menge.
>
> Die in obiger Darstellung von M beteiligten halboffenen
> Intervalle sind offen in M (warum? ).

  
Das ist schwierig verbal  zu beschreiben (d.h. ohne Bild). Ich versuche es trotzdem mal: Die Zahl 2 ist auf dem Rand des Intervalls, hat aber trotzdem eine [mm] \varepsilon-Umgebung, [/mm] die ganz in M liegt, denn der metrische Raum endet ja bei der 2.

Mein Bauchgefühl sagt mir, dass man das noch schöner formulieren kann ;-)


Bezug
                        
Bezug
Zusammenhängender metrischer R: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:12 So 23.02.2020
Autor: tobit09

Hallo,

für mein Dafürhalten hast du den wesentlichen Punkt erfasst.

Formulierungsvorschlag für den Nachweis der Offenheit von $(1,2]$ in M:

Sei [mm] $x\in [/mm] (1,2]$ beliebig vorgegeben. Wähle [mm] $\varepsilon:=x-1>1-1=0$. [/mm] Dann gilt wie gewünscht [mm] $\{y\in M\;|\;|x-y|<\varepsilon\}\subseteq [/mm] (1,2]$: Sei nämlich [mm] $y\in [/mm] M$ mit [mm] $|x-y|<\varepsilon$. [/mm] Dann gilt wegen [mm] $y\in [/mm] M$ die Ungleichung [mm] $y\le [/mm] 2$ und wegen [mm] $x-y\le |x-y|<\varepsilon=x-1$ [/mm] auch $y>1$, so dass wie gewünscht [mm] $y\in(1,2]$ [/mm] folgt.

Alternativ geht es mit "Freds" Kriterium für Offenheit bezüglich Spurtopologie: Es genügt festzustellen, dass z.B. [mm] $(1,\infty)$ [/mm] eine in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] offene Menge ist, für die [mm] $(1,\infty)\cap [/mm] M=(1,2]$ gilt, um die Offenheit von $(1,2]$ in $M$ nachzuweisen.

Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                
Bezug
Zusammenhängender metrischer R: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:07 Mi 04.03.2020
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> für mein Dafürhalten hast du den wesentlichen Punkt
> erfasst.
>  
> Formulierungsvorschlag für den Nachweis der Offenheit von
> [mm](1,2][/mm] in M:
>  
> Sei [mm]x\in (1,2][/mm] beliebig vorgegeben. Wähle
> [mm]\varepsilon:=x-1>1-1=0[/mm]. Dann gilt wie gewünscht [mm]\{y\in M\;|\;|x-y|<\varepsilon\}\subseteq (1,2][/mm]:
> Sei nämlich [mm]y\in M[/mm] mit [mm]|x-y|<\varepsilon[/mm]. Dann gilt wegen
> [mm]y\in M[/mm] die Ungleichung [mm]y\le 2[/mm] und wegen [mm]x-y\le |x-y|<\varepsilon=x-1[/mm]
> auch [mm]y>1[/mm], so dass wie gewünscht [mm]y\in(1,2][/mm] folgt.
>  
> Alternativ geht es mit "Freds" Kriterium für Offenheit

Hallo Tobias,


das ist nicht mein Kriterium, sondern die Definition von Spurtopologie.




> bezüglich Spurtopologie: Es genügt festzustellen, dass
> z.B. [mm](1,\infty)[/mm] eine in [mm]\mathbb{R}[/mm] offene Menge ist, für
> die [mm](1,\infty)\cap M=(1,2][/mm] gilt, um die Offenheit von [mm](1,2][/mm]
> in [mm]M[/mm] nachzuweisen.
>  
> Viele Grüße
>  Tobias


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]