Zulauf/Abfluss < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:22 Di 31.10.2006 | | Autor: | MilkyLin |
| Aufgabe | Ein leeres Becken wird über ein Zulaufrohr mit Wasser gefüllt. Dabei steige 5 s lang die Zulaufgeschwindigkeit v(t) gleichmässig bis auf 10 l/s an und bleibt anschliessend 20 s konstant. Dann wird das Zulaufrohr geschlossen, sodass kein Wasser mehr zufliessen kann. Stattdessen wir ein Abfluss geöffnet, aus dem Wasser mit konstanter Geschwindigkeit von 5 l/s ausströmt.
a)Bestimmte die im Becken vorhandene Wassermenge nach 5 s( nach 25 s, nach 60 s)
|
Sooo, guten Abend erstmal,
ich schreibe morgen eine Klausur und teste nun anhand dieser Aufgabe, ob ich soweit alles verstanden hab.
Es wäre toll, wenn sich vielleicht jemand einmal meine Lösungen heute Abend anschauen könnte!
Nach fünf Sekunden sind 25 l im Becken, denn
f'(x)=10 / 5 , also 2x
F(x) = [mm] x^{2}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{5}{x^{2} dx}= [/mm] 25 liter
Nach 25 Minuten:
(25-5 = 10)
f'(x) = 10
F(x)=10x
[mm] \integral_{0}^{20}{10x dx}= [/mm] 200
Nach 25 Minuten sind es also 200 + 25, also 225 liter Wasser. Richtig soweit?
Wäre toll, wenn wir jemand möglichst schnell antworten könnte!
Liebe Grüsse
MilkyLin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Di 31.10.2006 | | Autor: | Walty |
Hi MilkyLin
ich versuche mal mit einer Zeichnung Dir evtl etwas mehr Licht ins Dunkel zu bringen...
[Dateianhang nicht öffentlich]
von Herby freundlicherweise aus dem anderen thread hierherverschoben ergeben sich noch kleinere Änderungen
Hier siehst Du Dein letztes Beispiel. Den Wasserstand in rot, und den Zu/Ablauf in Schwarz.
Ich habe mal die Zeit als Variable "t" benannt.
im ersten Teil ändert sich hier ja auch noch erschwerend der Zulauf linear von [mm] 0\bruch{L}{s} [/mm] auf [mm] 10\bruch{L}{s}.
[/mm]
daher ist die Funktion f'(t) für den Zulauf(!) in den ersten fünf Sekunden eine Gerade:
[mm] f'(t)=2\bruch{L}{s^2}*t [/mm] (t in Sekunden! - die Einheiten tragen glaube ich auch hier zur Verwirrung bei)
also nach 1 sekunde ist der Zulauf [mm] 2\bruch{L}{s^2}*1s=2\bruch{L*s}{s^2}=2\bruch{L}{s} [/mm] (Physikalische Einheiten können ganz normal "mitgerechnet" ( hier: gekürzt) werden -
nach 2 Sekunden [mm] 4\bruch{L}{s} [/mm] etc...
bis er nach 5s den Wert [mm] 10\bruch{L}{s} [/mm] erreicht
entsprechend nimmt der Wasserstand [mm]f(t)[/mm] in den ersten 5 Sekunden mit [mm] t^2 [/mm] zu:
[mm] f'(t)=2\bruch{L}{s^2}*t [/mm] => [mm] f(t)=1\bruch{L}{s^2}*t^2 [/mm] => 25l
dann ist für 20s der Zulauf konstant [mm] 10\bruch{L}{s}
[/mm]
[mm]f'(t)=10\bruch{L}{s}=konstant[/mm]
(Verwirrend ist hierbei evtl, dass die Konstante dimensionsbehaftet ist. Der Zulauf sind aber nunmal [mm] 10\bruch{L}{s} [/mm] und nicht einfach nur "10" Wir wollen ja am Ende auch x Liter Wasser im Botttich haben und nicht nur "x" )
also nimmt der Wasserstand in diesem Abschnitt linear zu:
[mm] f(t)=f(t=5s)+10\bruch{L}{s}*t, [/mm] = [mm] 25L+10\bruch{L}{s}*20s=25L+200L=225L
[/mm]
bis zu dem Zeitpunkt, wo der Hahn zugedreht wird und sich eine konstante Ablaufrate von [mm] -5\bruch{L}{s} [/mm] einstellt.
die Funktionen für den Wasserstand habe ich in das Bild geschrieben
rein technisch musst du hier die Unstetigkeiten der Zulauf-funktion f'(t) suchen und abschnittsweise Integrieren
ich hoffe, ich war nicht zu kompliziert und hab dich noch mehr verwirrt...
Gruß Walty
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
