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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:34 So 03.02.2008 | | Autor: | Corn |
| Aufgabe | Sei X eine [mm] exp(\alpha) [/mm] verteilte Zufallsvariable
[mm] \int [/mm] t [mm] dP_x [/mm] = ?
[mm] \int t^2 dP_x [/mm] = ?
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Hallo
Ich soll das berechnen, aber der letzte Schritt fehlt mir noch
[mm] $\int [/mm] t [mm] dP_x [/mm] = [mm] \int_\IR [/mm] t [mm] *e^{-at} [/mm] dt = [mm] [\frac{e^{-at}}{a^2}(-at-1)]^\infty_{-\infty}$ [/mm]
Und wie gehts jetzt weiter?
[mm] $\int t^2 dP_x [/mm] = [mm] \int_\IR t^2 [/mm] * [mm] e^{-at} [/mm] dt$
$= [mm] [\frac{2}{a^3} [/mm] - [mm] \frac{e^{- at}*(a^2*t^2+ 2at + 2)}{a^3}]^\infty_{-\infty}$
[/mm]
Ich glaube, hier sollte eigentlich die Gammaverteilung rauskommen?
Grüße, Corn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 So 03.02.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Corn,
was Du mit diesen Gleichungen ausrechnest, sind der Erwartungswert und die Varianz der Exponentialverteilung. Pass aber bei den Grenzen auf, die Exponentialverteilung ist nur für positive reelle Zahlen definiert, die untere Grenze ist also Null, und nicht minus Unendlich.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 So 03.02.2008 | | Autor: | Corn |
| Aufgabe | Sei X eine $ [mm] exp(\alpha) [/mm] $ verteilte Zufallsvariable
$ [mm] \int [/mm] $ t $ [mm] dP_x [/mm] $ = ?
$ [mm] \int t^2 dP_x [/mm] $ = ? |
Hallo
Also um weitere Hilfe komme ich leider doch nicht drumrum
$ [mm] \int [/mm] t [mm] dP_x [/mm] = [mm] \int_\IR [/mm] t [mm] \cdot{}e^{-at} [/mm] dt = [mm] [\frac{e^{-at}}{a^2}(-at-1)]^\infty_{-\infty} [/mm] $
Für Plus Unendlich wir der E-Term ja 0, also alles gleich Null. Für Minus unendlich kriege ich aber ein Problem
$=- [mm] \frac{1}{a^2}(a \infty [/mm] - 1)$ = - [mm] \infty
[/mm]
???
$ [mm] \int t^2 dP_x [/mm] = [mm] \int_\IR t^2 \cdot{} e^{-at} [/mm] dt $
$ = [mm] [\frac{2}{a^3} [/mm] - [mm] \frac{e^{- at}\cdot{}(a^2\cdot{}t^2+ 2at + 2)}{a^3}]^\infty_{-\infty} [/mm] $
Mit dem selben Fehler käme ich hier auch auf [mm] -\infty [/mm] als Ergebnis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 So 03.02.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Corn,
wenn Du meine Antwort richtig gelesen hättest, würdest Du Null als untere Grenze einsetzen.
Gruß,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 So 03.02.2008 | | Autor: | Corn |
| Aufgabe | Sei X eine $ [mm] exp(\alpha) [/mm] $ verteilte Zufallsvariable
$ [mm] \int [/mm] $ t $ [mm] dP_x [/mm] $ = ?
$ [mm] \int t^2 dP_x [/mm] $ = ? |
> wenn Du meine Antwort richtig gelesen hättest, würdest Du
> Null als untere Grenze einsetzen.
Ich dachte du hast dich vertan und meintest mit der Grenze [mm] \infty, [/mm] daß da Null herauskommt
$ [mm] \int [/mm] t [mm] dP_x [/mm] = [mm] \int_\IR [/mm] t [mm] \cdot{}e^{-at} [/mm] dt = [mm] [\frac{e^{-at}}{a^2}(-at-1)]^\infty_0 [/mm] = 0 - [mm] (\frac{e^0}{a^2}(-1)) [/mm] = [mm] \frac{1}{a^2}$ [/mm]
Stimmt des jetz so?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 So 03.02.2008 | | Autor: | Infinit |
Ja, das sieht doch schon besser aus.
Gruß,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 So 03.02.2008 | | Autor: | Corn |
Gut, danke dir. Aber wie siehts nun aus beim zweiten?
$ [mm] \int t^2 dP_x [/mm] = [mm] \int_\IR t^2 \cdot{} e^{-at} [/mm] dt $
$ = [mm] [\frac{2}{a^3} [/mm] - [mm] \frac{e^{- at}\cdot{}(a^2\cdot{}t^2+ 2at + 2)}{a^3}]^\infty_{0} [/mm] $
= [mm] -(\frac{2}{a^3} [/mm] - [mm] \frac{1(a^2*0+2a*0+2)}{a^3}
[/mm]
= [mm] -\frac{2}{a^3}+\frac{2}{a^3} [/mm] = 0
Das ist irgendwie ein unschönes Ergebnis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 So 03.02.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Corn,
das mit dem Integral bekomme ich so nicht raus, denn
$$ [mm] \int (x^2 \exp^{bx} [/mm] ) dx = [mm] \exp^{bx} \left( \bruch{x^2}{b} - \bruch{2x}{b^2} + \bruch{2}{b^3} \right) [/mm] $$
Hier tauchen dann bei der oberen Grenze Ausdrücke der Form [mm] 0 \cdot \infty [/mm] auf, deren Grenzwert man bestimmen muss.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 So 03.02.2008 | | Autor: | Corn |
Hallo.
Das mit dem Integrieren musste ich partiell versuchen, das war sehr mühsam und will ich deswegen auch nicht noch mal versuchen.
Die Rechnung dort ist doch vollkommen analog zu dem ersten Beispiel und es sollte eine Zahl [mm] \in \IR [/mm] herauskommen?
$ [mm] \int (x^2 \exp^{-bx} [/mm] ) dx = [mm] \exp^{-bx} \left( \bruch{x^2}{-b} - \bruch{2x}{b^2} + \bruch{2}{-b^3} \right) [/mm] $
Mit 0 bis +unendlich eingesetzt erhalte ich für +unendlich erst einmal 0. Für die Integralsgrenze 0
[mm] \bruch{2}{-b^3}
[/mm]
Wobei ich sagen muß, ich war mir da nicht ganz sicher, ob da ein Minus davorkommt oder nicht.
Aber im Prinzip richtig?
Dankeschööön.
Corn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Corn,
der Rechenweg ist schon okay, auch die Berücksichtigung des negativen b. Denke aber daran, dass dies das Ergebnis für die untere Integralgrenze ist, so dass hier nochmal ein Minus davorgehört. Das Ergebnis ist also wieder positiv.
Viele Grüße,
Infinit
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