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| Aufgabe | Es sei X eine Poisson-verteilte Zufallsvariable zum Parameter [mm] \lambda [/mm] > 0. Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen
Y:= [mm] \bruch{1}{1+X}. [/mm] |
Kann den jemand berechnen???
Dank euch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Mo 26.03.2007 | | Autor: | luis52 |
> Es sei X eine Poisson-verteilte Zufallsvariable zum
> Parameter [mm]\lambda[/mm] > 0. Berechnen Sie den Erwartungswert der
> Zufallsvariablen
>
> Y:= [mm]\bruch{1}{1+X}.[/mm]
> Kann den jemand berechnen???
[mm] \begin{matrix}
\mbox{E}[X]&=&\sum_{x=0}^\infty\frac{1}{x+1}\frac{\lambda^x}{x!}\exp[-\lambda]\\
&=&\frac{\exp[-\lambda]}{\lambda}\sum_{x=0}^\infty\frac{\lambda^{x+1}}{(x+1)!}\\
&=&\frac{\exp[-\lambda]}{\lambda}\left[\sum_{x=0}^\infty\frac{\lambda^x}{x!}-1\right]\\
&=&\frac{\exp[-\lambda]}{\lambda}\left[\exp[\lambda]-1\right]\\
&=&\frac{1-\exp[-\lambda]}{\lambda}
\end{matrix} [/mm]
hth
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