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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:37 Di 31.10.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | | Beweise: Ist X eine reelle Zufallsvariable mit stetiger Verteilungsfunktion [mm] F_{X} [/mm] = F, so ist die Zufallsvariable F(X) auf [0,1] gleichverteilt. |
Hallo,
vielleicht kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiter helfen, denn ich selbst weiß überhaupt nicht, wie ich das zeigen kann. Unser Dozent hat uns aber den Tipp gegeben, dass dies die Umkehrung folgenden Satzes ist:
Für jede Funktion F: [mm] \IR \to [/mm] [0,1] sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) F ist wachsend, rechtsstetig und [mm] \limes_{c\rightarrow - \infty} [/mm] F(c) = 0, [mm] \limes_{c\rightarrow\infty} [/mm] F(c) = 1
(b) Es gibt eine Zufallsvaribale X:]0,1[ [mm] \to \IR [/mm] mit [mm] U_{]0,1[} [/mm] (X [mm] \le [/mm] c) = F(c) [mm] \forall [/mm] c [mm] \in \IR [/mm] (wobei [mm] U_{]0,1[} [/mm] die Gleichververteilung auf dem angeg. Intervall ist)
(c) Es gibt genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf [mm] (\IR,B) [/mm] mit P(]- [mm] \infty, [/mm] c]) = F(c) [mm] \forall [/mm] c [mm] \in \IR
[/mm]
Ich weiß nicht, wie ich den Satz in den Beweis bauen soll und wo da die Umkehrung ist. Ich hoffe, es kann mir jemand helfen.
Viele Grüße und danke schonmal,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Do 02.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab mal versucht die Aufgabe mithilfe dieses Satzes zu beweisen, ich weiß aber nicht, ob das so stimmt. Wäre nett, wenn jemand mir weiter helfen könntet.
Beweis:
Nach Voraussetzung ist X eine reelle ZV, also eine Abb. X: [0,1] [mm] \to \IR.
[/mm]
Es gilt doch [mm] F_{x} [/mm] = P(X [mm] \in [/mm] A) = P [mm] \circ ^X^{-1}(A) [/mm] = [mm] \integral_{A}{g(x) dx} [/mm] stetig.
(g ist die Verteilungsdichte von X)
Z.z: F(x) = [mm] U_{[0,1]}
[/mm]
Nun ist: F(X) = [mm] F_{X} [/mm] = P [mm] \circ X^{-1} [/mm] (A) = [mm] U_{[0,1]} \circ X^{-1} [/mm] (A) = U(X [mm] \in [/mm] A)= [mm] U_{[0,1]}. [/mm] (Hier wurden b) und c) vom Satz verwendet.)
Also ist F(X) auf [0,1] gleichverteilt.
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Viele Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Mo 06.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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