Zufällige Bewegung in Ebene < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Startpunkt einer zufälligen Bewegung sei der Ursprung des Koordinatensystems. In jedem Schritt wird eine Strecke der Länge 1 zurückgelegt und die Richtung bei jedem Schritt zufällig neu bestimmt. Berechnen Sie den Erwartungswert es Quadrats des Abstands nach n Schritten. |
| Aufgabe 2 | | Bestimmen Sie für alle n einen kleinstmöglichen Radius, so dass das Ziel der zufälligen Bewegung mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.7 innerhalb des Kreises liegt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu Aufgabe 1 habe ich mir überlegt, dass [mm] E(S_n^2)=E\left[\left( \sum_{k=1}^n \cos \phi_k \right)^2 + \left( \sum_{k=1}^n \sin \phi_k \right)^2 \right] =E\left[\sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^n \left( \cos \phi_k \cos \phi_j+\sin \phi_k \sin \phi_j\right)\right] [/mm] = [mm] E\left[n+2\sum_{k=1}^{n-1} \sum_{j=k+1}^n \cos(\phi_k-\phi_j)\right]=n [/mm]
Dabei ist [mm] \phi_k [/mm] der Winkel der Bewegung zur x-Achse im k-ten Schritt.
Zu Aufgabe 2 habe ich Ehrlich gesagt keine Ahnung. Die erste Idee war, das "direkt" zu berechnen, dabei habe ich aber ehrlich gesagt, keine Ahnung wie das gehen soll. Ist ja im Prinzip so eine Art Faltung von n Zufallsvariablen. Die zweite Idee war, die Winkel etwas abzuändern und in jedem Schritt nicht den Winkel zur x-Achse zu betrachten, sondern den Winkel der Abweichung von der bisherigen Bewegung und dann mit dem Kosinussatz das ganze rekursiv zu betrachten, daraus die Varianz des Problems zu berechnen und dann mit der Tschebyscheff-Ungleichung des ganze abzuschätzen. Hat aber auch zu nichts geführt, da ich an einer Stelle [mm] E(S_n) [/mm] und [mm] E(S_n^3) [/mm] gebraucht hätte, welche ich ja auch nicht so ohne weiteres kenne.
Wäre für Antworten sehr dankbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 06.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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