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Zinssatz bestimmen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:19 Mi 17.07.2019
Autor: Schobbi

Aufgabe
Rentenrechnung:
gegeben: [mm] R_{25}=103270,87€ [/mm]     R=2750€     n=25 Jahre     vorschüssig
gesucht: Zinssatz

Guten Morgen zusammen,

bei obiger Aufgabe geht es darum den Zinssatz zu bestimmen. Da es sich um eine Aufgabe zum Rentenendwert handelt habe ich versucht folende Formel nach q umzusellen:

[mm] R_{n}=R*q*\bruch{q^n-1}{q-1} [/mm]

[mm] 103270,87=2750*q*\bruch{q^{25}-1}{q-1} [/mm]
[mm] 37,55=q*\bruch{q^{25}-1}{q-1} [/mm]

Aber wie kann ich weiter vorgehen?
Durch ausprobieren habe ich festgestellt, dass q=1,03 betragen muss, also der Zinssatz 3% lautet. :-)

Aber das kann man sicherlich doch auch rechnerisch zeigen , oder? Danke schon mal für Eure Hilfte.

        
Bezug
Zinssatz bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:25 Mi 17.07.2019
Autor: Staffan

Hallo,
Deine Vorgehensweise mit dem 'Probieren' war durchaus richtig. Der Zinssatz (i) erscheint hier als Teil eines Ausdrucks in der 25. Potenz
$ [mm] q=\left(1 + i \right)^{25} [/mm] $, das kann man nur durch Näherung (unmathematisch probieren) lösen. Es gibt Methoden dafür wie das Newton-Verfahren oder regula falsi. In Excel kann man auch die Zielwertmethode anwenden.

Gruß
Staffan

Bezug
        
Bezug
Zinssatz bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 Mi 17.07.2019
Autor: Josef

Hallo Schobi,

> Rentenrechnung:
>  gegeben: [mm]R_{25}=103270,87€[/mm]     R=2750€     n=25 Jahre  
>    vorschüssig
>  gesucht: Zinssatz
>  Guten Morgen zusammen,
>
> bei obiger Aufgabe geht es darum den Zinssatz zu bestimmen.
> Da es sich um eine Aufgabe zum Rentenendwert handelt habe
> ich versucht folende Formel nach q umzusellen:
>  
> [mm]R_{n}=R*q*\bruch{q^n-1}{q-1}[/mm]
>  
> [mm]103270,87=2750*q*\bruch{q^{25}-1}{q-1}[/mm]
>  [mm]37,55=q*\bruch{q^{25}-1}{q-1}[/mm]
>  
> Aber wie kann ich weiter vorgehen?
>  Durch ausprobieren habe ich festgestellt, dass q=1,03
> betragen muss, also der Zinssatz 3% lautet. :-)
>  
> Aber das kann man sicherlich doch auch rechnerisch zeigen ,
> oder?

Ein einfaches Auflösen nach q ist mit dieser Gleichung nicht mehr möglich. Man kann spezielle Lösungsverfahren, die in der Fachliteratur beschrieben sind, zwar anwenden, aber man erhält durch Probieren, d.h. Einsetzen geeigneter Werte in die obige Gleichung - mit dem Taschenrechner - rasch praktikable Lösungsnäherungen.

Als Startwert für das Probieren wählt man einen auf dem Kapitalmarkt üblichen Zinsfuß oder einen Erfahrungswert, z.B. 2 % = 1,02 oder 3 % = 1,03, und setzt diese Werte in die Gleichung ein. Somit hat man den Lösungswert bereits eingegrenzt. Bei negativem F(q) hat man q zu klein, bei positivem Wert zu groß angesetzt.

Aus Gründen der Zweckmäßigkeit sollte man sich eine kleine Wertetabelle anlegen.


Zum Beispiel 2 %:

2.750 * [mm] 1,02*\bruch{1,02^{25}-1}{0,02} [/mm] = 89.844,99

= zu wenig



Einsetzen in eine Wertetabelle ergibt:

[mm]\begin{vmatrix}q&Ergebnis&Bemerkung\\ 1,02&89.844,99&p= zu. klein\\ 1,03&103.270,87&Loesung\\ 1,04&238.214,60&p= zu.gross\end{vmatrix}[/mm]

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