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Hier die Frage. Klar und präzise:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo,
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> ich verstehe das mit Zerlegungen von Intervallen noch nicht
> so ganz.
> Nehmen wir mal folgenden Beweis:
>
> Sei [mm]Z_1 \subset Z_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
> Dann folgt:
> inf{ f(x); [mm]x\in[a,b][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} * |b-a| [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sup{ f(x); [mm]x\in[a,b][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} *
> |b-a|
Hallo,
irgendwie habe ich das Gefühl, daß hier irgendetwas untergegangen ist.
Ist die zu zeigende Aussage wirklich richtig wiedergegeben? Mich haut die nicht vom Hocker, und ich habe nicht den Eindruck, daß ich hierfür Zerlegungen bräuchte.
Gruß v. Angela
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hm ja wie würdest du denn Zeigen, dass wenn ich ein Intervall feiner zerlege, dass dann auch die Untersumme größer wird?! Mal ganz konkret...
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> hm ja wie würdest du denn Zeigen, dass wenn ich ein
> Intervall feiner zerlege, dass dann auch die Untersumme
> größer wird?! Mal ganz konkret...
Hallo,
so weit bin ich noch gar nicht.
Ich grübel(t)e noch darüber, was gezeigt werden soll, Deinem Eingangspost zufolge dies:
Sei [mm] Z_1 \subset Z_2 [/mm] .
Dann folgt:
inf{ f(x); [mm] x\in[a,b] [/mm] } * |b-a| [mm] \le [/mm] sup{ f(x); [mm] x\in[a,b] [/mm] } * |b-a|
Anschließend steht dann ja "Beweis".
Deinen jetzigen Worten aber entnehme ich, daß eine ganz andere Aussage zu beweisen ist.
Am besten bearbeitest Du mal Dein Eingangspost entsprechend. (Post aufrufen, dann "bearbeiten" anklicken.)
Sinnvoll stelle ich mit auch vor, wenn Du noch die Definition für "eine Zerlegung ist feiner als die andere" dazuschreibst - nicht zuletzt für Dein eigenes Verständnis.
Gruß v. Angela
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Okay. Ja sorry ich bin manchmal etwas zerstreut.
Also zu beweisen ist die Aussage, dass wenn ich eine Zerlegung feiner mache, dann ist wird die Untersumme größer.
Mal kurz zur Klärung der Begriffe:
Definition (Zerlegung):
Eine Zerlegung Z des Intervalls [a,b] mit a<b ist eine endliche Folge [mm] (x_0, [/mm] ...., [mm] x_n) [/mm] derart, dass [mm] a=x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < ... < [mm] x_n [/mm] = b.
Unter der Feinheit F versteht man [mm] F:=max(|x_k-x_{k-1}| [/mm] für k von 1 bis n)
Eine Zerlegung [mm] Z_1 [/mm] heißt feiner als eine Zerlegung [mm] Z_2. [/mm] wemm die "Stützpunkte" von [mm] Z_1 [/mm] eine echte Obermenge der Stützpunkte von [mm] Z_2 [/mm] bilden.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:37 Mo 09.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nochmal: kannst du dein erstes post nochmal ueberpruefen! da stehen Summen und f(x) mal mit ner Intervallaenge mult. mal nicht. ein ziemliches Drucheinander.
schon wenn man schreibt :
[mm] (\inf_{x\in(a,b)})*|b-a| [/mm] wird manches eher zu lesen als in deiner Notation
Also schreibs neu auf, und wir koennen drueber reden.
dass [mm] \inf_{x\in(a,b)}\le\inf_{x\in(c,d)} [/mm] wenn [mm] (c,d)\subset [/mm] (a,b) ist dir aber klar?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 Mo 09.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du Zerlegung Z2 nimmst und [mm] [x_{k-1},x_k] [/mm] unterteilst in
[mm] [x_{k-1},a]+[a,x_k]
[/mm]
dann ist [mm] \sup_{x\in[x_{k-1},a]}(f(x))\le \sup_{x\in[x_{k-1},x_k]}(f(x)) [/mm] entsprechend fuer das zweite Intervall.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bodo,
> Hier die Frage. Klar und präzise:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
nimm' Leduarts Antwort von hier. Das Wesentliche ist darin enthalten, wobei man natürlich kritisieren kann, dass bei der feineren Zerlegung [mm] $Z_1$ [/mm] es ja durchaus sein kann, dass mehr als ein Punkt [mm] $a\,$ [/mm] im Intervall [mm] $[x_{k-1},\,x_k]$ [/mm] enthalten sein kann. Also z.B. kann es bei der Betrachtung der aufeinanderfolgenden Punkte [mm] $x_{k-1},\;x_k$ [/mm] der Zerlegung [mm] $Z_2$ [/mm] so sein, dass sich die (bzgl. [mm] $\le$ [/mm] angeordneten) Punkte [mm] $a^{(k-1)}_1,...,a^{(k-1)}_{m_{k-1}}$ [/mm] der Zerlegung [mm] $Z_1$ [/mm] im Intervall [mm] $[x_{k-1},\;x_k]$ [/mm] befinden. Das ist aber im Wesentlichen nur eine formale Sache, außerdem kann man auch o.B.d.A. annehmen, dass bei der Verfeinerung nur höchstens ein Punkt in solch' einem Intervallstück [mm] $[x_{k-1},\;x_k]$ [/mm] hinzukommt (ansonsten betrachtet man halt endlich viele solche Verfeinerungen, wo immer nur höchstens ein Punkt in einem solchen Intervallstück hinzukommt, nach und nach).
Zum Beweis genügt es also, dass Du Dir klarmachst, warum für $a [mm] \in [x_{k-1},\;x_k]$ [/mm] die Ungleichung
[mm] $$\sup\{f(x):\;x \in [x_{k-1},\;a]\}*|a-x_{k-1}|+\sup\{f(x):\;x \in [a,\;x_k]\} \le \sup\{f(x): \; x \in [x_{k-1},\;x_k]\}*|x_k-x_{k-1}|$$
[/mm]
gilt. Und woraus das folgt, das steht bei Leduart, wobei Du beachten solltest, dass hier [mm] $|a-x_{x-1}|+|x_k-a|=a-x_{k-1}+x_k-a=x_k-x_{k-1}=|x_k-x_{k-1}|$ [/mm] gilt.
P.S.:
Leduarts Mitteilung (Link oben) kann man durchaus auch als Antwort bzgl. der Frage markieren 
Gruß,
Marcel
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