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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Zerlegung eines Vektors
Zerlegung eines Vektors < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Zerlegung eines Vektors: Aufgabenlösung prüfen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Fr 11.01.2013
Autor: dertho

Aufgabe
Zerlegen Sie den Vektor [mm] \vec{w} \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] in zwei Komponenten [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] , von denen eine senkrecht [mm] \perp [/mm] zu [mm] \vec{a} \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] , die andere senkrecht [mm] \perp [/mm] zur
Ebene x1 + x2 + 2*x3 = 0 ist.

Ist meine Lösung richtig ?

u [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] -> [mm] \vec{u} [/mm] = u1 + 2*u2 + 3*u3

Skalarprodukt

[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{1*1 \\ 2*2 \\ 3*-1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ -6} [/mm] = (2*1)+(1*4)+(2*-3)=0

[mm] \vec{u} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm]

---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------

v [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] -> [mm] \vec{v} [/mm] = v1 + 2*v2 + 3*v3

Skalarprodukt

[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{1*2 \\ 2*2 \\ 3*-1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ -6} [/mm] = (1*2)+(1*4)+(2*-3)=0

[mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ -1} [/mm]

Danke schon mal im voraus !

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Zerlegung eines Vektors: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Fr 11.01.2013
Autor: MathePower

Hallo dertho,


[willkommenmr]


> Zerlegen Sie den Vektor [mm]\vec{w} \vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] in
> zwei Komponenten [mm]\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm] , von denen eine
> senkrecht [mm]\perp[/mm] zu [mm]\vec{a} \vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm] , die
> andere senkrecht [mm]\perp[/mm] zur
> Ebene x1 + x2 + 2*x3 = 0 ist.
>  Ist meine Lösung richtig ?
>  
> u [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] -> [mm]\vec{u}[/mm] = u1 + 2*u2 + 3*u3
>  
> Skalarprodukt
>  
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm] * [mm]\vektor{1*1 \\ 2*2 \\ 3*-1}[/mm] =
> [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ -6}[/mm] = (2*1)+(1*4)+(2*-3)=0
>  
> [mm]\vec{u}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -1}[/mm]
>  
> ---------------------------------------------------------------------
>  
> ---------------------------------------------------------------------
>  
> v [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] -> [mm]\vec{v}[/mm] = v1 + 2*v2 + 3*v3
>  
> Skalarprodukt
>  
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm] * [mm]\vektor{1*2 \\ 2*2 \\ 3*-1}[/mm] =
> [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ -6}[/mm] = (1*2)+(1*4)+(2*-3)=0
>  
> [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ -1}[/mm]
>  


Das ist nicht richtig.

Stelle doch erstmal die Bedingungen auf,
die gelten müssen.


> Danke schon mal im voraus !
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Zerlegung eines Vektors: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Fr 11.01.2013
Autor: dertho

hmm, stehe auf dem schlauch...

dachte mit

[mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{u} [/mm] = 0

wäre damit das skalarprodukt 0 und somit [mm] \vec{u} [/mm] zu [mm] \vec{a} [/mm] senkrecht ?

also jetzt erstmal nur für [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{a}[/mm]

Bezug
                        
Bezug
Zerlegung eines Vektors: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 Fr 11.01.2013
Autor: MathePower

Hallo dertho,

> hmm, stehe auf dem schlauch...
>  
> dachte mit
>
> [mm]\vec{a}[/mm] * [mm]\vec{u}[/mm] = 0
>
> wäre damit das skalarprodukt 0 und somit [mm]\vec{u}[/mm] zu
> [mm]\vec{a}[/mm] senkrecht ?


Ja, das ist richtig.

Es gibt aber noch weitere Bedingungen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Zerlegung eines Vektors: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Fr 11.01.2013
Autor: dertho

hmm, ich komm echt nicht drauf. brauche wohl einen nett erfragten hinweis :)

Bezug
                                        
Bezug
Zerlegung eines Vektors: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:42 Fr 11.01.2013
Autor: schachuzipus

Hallo,

vllt. hilft es, wenn du mehr als 2 Minuten und in Ruhe drüber nachdenkst ...

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Zerlegung eines Vektors: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:44 Fr 11.01.2013
Autor: dertho

ich habe heut schon eine ganze weile da dran gehangen. und mehr kommt da leider nicht bei raus.
Bezug
                                        
Bezug
Zerlegung eines Vektors: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Fr 11.01.2013
Autor: MathePower

Hallo dertho,

> hmm, ich komm echt nicht drauf. brauche wohl einen nett
> erfragten hinweis :)


Zu allererst muß doch gelten:

[mm]\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}[/mm]

Ausserdem muss [mm]\vec{v}[/mm] orthogonal zur gegebenen Ebene sein.

Diese Bedingungen kommen zu der bisherigen noch dazu.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Zerlegung eines Vektors: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 Fr 11.01.2013
Autor: dertho

mein neuer ansatz und danke für deine hilfe.

[mm] \vec{w} [/mm] = [mm] \vec{u} [/mm] + [mm] \vec{v} [/mm]

[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm]  + [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm]

Skalarprodukt

[mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{u} [/mm] = 0

[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{1*-1 \\ 1*-2 \\ 2*1} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -2 \\ 4} [/mm] = (2*-1)+(1*-2)+(2*2)=0

[mm] \vec{u} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ 1} [/mm]

kann das erstmal für [mm] \vec{u} \perp \vec{a} [/mm] passen ?


Bezug
                                                        
Bezug
Zerlegung eines Vektors: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Fr 11.01.2013
Autor: MathePower

Hallo dertho,

> mein neuer ansatz und danke für deine hilfe.
>  
> [mm]\vec{w}[/mm] = [mm]\vec{u}[/mm] + [mm]\vec{v}[/mm]
>  
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm]  + [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> Skalarprodukt
>  
> [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{u}[/mm] = 0
>  
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm] * [mm]\vektor{1*-1 \\ 1*-2 \\ 2*1}[/mm] =
> [mm]\vektor{-2 \\ -2 \\ 4}[/mm] = (2*-1)+(1*-2)+(2*2)=0
>  
> [mm]\vec{u}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ -2 \\ 1}[/mm]
>  
> kann das erstmal für [mm]\vec{u} \perp \vec{a}[/mm] passen ?
>  


Nein, das passt nicht.

Schreibe Dir doch mal alle 3 Bedingungen auf die gelten müssen.
Daraus kannst Du dann die gesuchten Vektoren berechnen.


Gruss
MathePower

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Bezug
Zerlegung eines Vektors: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 Fr 11.01.2013
Autor: dertho

erste bedingung:

[mm] \vec{w} [/mm] = [mm] \vec{u} [/mm] + [mm] \vec{v} [/mm]


zweite bedingung

[mm] \vec{v} [/mm] muss orthogonal zur ebene sein


dritte bedingung

skalarprodukt = 0


aber ich komm hier einfach nicht mehr weiter. mir fällt nichts mehr ein. mist...

Bezug
                                                        
Bezug
Zerlegung eines Vektors: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Fr 11.01.2013
Autor: Calli


> erste bedingung:
>  
> [mm]\vec{w}[/mm] = [mm]\vec{u}[/mm] + [mm]\vec{v}[/mm]

[ok]

> zweite bedingung
>  
> [mm]\vec{v}[/mm] muss orthogonal zur ebene sein.

Oder anders ausgedrückt:   [mm]\vec{v}[/mm]  ist ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene.
Wie lautet der Normalenvektor zur Ebene ?

> dritte bedingung
>  
> skalarprodukt = 0

Welches Skalarprodukt genau ?

Ciao

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