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| Aufgabe | Sei G eine Gruppe
[mm] Z(G):=\{g\in G|gh=hg\forall h\in G\}
[/mm]
Zeige: Z(G) ist ein Normalteiler von G und G ist abelsch, sofern G/Z(G) zyklisch ist. |
Dass das nen Normalteiler ist, ist ja klar. Doch wie zeige ich den zweiten Teil? G abelsch bedeutet ja, dass Z(G)=G, damit hat G/Z(G) nur ein Element. Wie zeige ich also, dass G/Z(G) einelementig ist, sofern es zyklisch ist?
Kann ich irgendwie verwenden, dass es isomorph zu der Menge der inneren Automorphismen ist?
Oder irgendwie so:
Sei aZ(G) ein Erzeuger von G/Z(G), aber sei [mm] b\notin [/mm] aZ, folgt daraus irgendein Widerspruch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 So 25.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Sei aZ(G) ein Erzeuger von G/Z(G), aber sei [mm]b\notin[/mm] aZ,
Genau - nehme mal einen Erzeuger a der Faktorgruppe. Wie sehen denn nun die Restklassenelemente aus? Nimm nun zwei beliebige Elemente g,h, schaue dir die Restklassen an, die davon erzeugt werden, und rechne ein bisschen.
SEcki
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