Zeilensummen = 0 => det(A) = 0 < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:46 Di 11.11.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | Zeige: Ist die Summe der Elemente in jeder Zeile (Zeilensumme) der nxn Matrix A gleich 0, so ist det(A) = 0.
Verwende die Fredholm´sche Alternative - Betrachte dazu A [mm] \vec{1} [/mm] |
Hallo!
Tut mir Leid, ich habe leider keine Idee wie man hier beginnen muss.
Die Fredholmsche Alternative besagt ja nur, dass das Gleichungssystem entweder eindeutig lösbar ist oder oder das zugehörige homogene LGS besitzt keine triviale Lösung [mm] (a_1 [/mm] x = 0)
[mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Nun gilt nach Voraussetzung:
[mm] a_{11} [/mm] + [mm] a_{12}= [/mm] 0
und
[mm] a_{21} [/mm] + [mm] a_{22} [/mm] = 0
das bedeutet aber nicht, dass z.B. [mm] a_{11} [/mm] = 0 und [mm] a_{12} [/mm] = 0.
Das ergäbe dann nämlich eine Nullzeile - womit die Determinante automatisch 0 wäre.
Viel mehr schaffe ich bei der Aufgabe leider nicht.
Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben - vielen Dank !
lg
|
|
| |
|
Du kommst ganz ohne Fredholm aus.
Wenn die Matrix die beschriebene Eigenschaft hat und Du den Gaußschen Algorithmus verwendest, um die Matrix in Zeilenstufenform umzuwandeln, erhältst Du spätestens im letzten Schritt (dann als letzte Zeile) eine komplette Nullzeile. Diese dann vorliegende Matrix hat genau dann die Determinante Null, wenn das auch für die ursprüngliche Matrix galt. Mit mindestens einer Nullzeile aber ist die Determinante immer Null; auch die ursprüngliche Matrix war also(ggf. mehrfach) linear abhängig.
Soweit der Lösungsweg; gehen musst Du ihn aber noch selbst 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:03 Di 11.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Warum verwendet niemand von Euch den Hinweis ?? Dann wirds nämlich ganz einfach:
Sei A die gegebene Matrix. Die von A erzeugte lineare Abbildung nennen wir ebenfals A.
Sei x= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ . \\. \\ . \\ 1} \in \IR^n. [/mm] Nach Vor. ist Ax=0, also x [mm] \in [/mm] Kern(A). Somit: Kern(A) [mm] \not= [/mm] {0}. Es folgt: det(A) = 0
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Di 11.11.2008 | | Autor: | uniklu |
Hallo!
Danke für den Lösungshinweis. Das Problem ist aber dass wir nirgendwo den Kern einer Matrix definiert haben.
Ich denke es handelt sich um den Nullraum der Matrix?
Ich verstehe den Schritt Kern(A) [mm] \not= [/mm] 0 => det(A) = 0 nicht
Also der Vektor [mm] \vec{1} [/mm] liegt im Nullraum von A aber die Folgerung...
Die Determinante ist ja nur Null wenn eine Nullzeile auftritt?
Bitte um Nachsicht :) - mir ist das alles relativ neu.
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Di 11.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> Danke für den Lösungshinweis. Das Problem ist aber dass wir
> nirgendwo den Kern einer Matrix definiert haben.
> Ich denke es handelt sich um den Nullraum der Matrix?
Ja
>
> Ich verstehe den Schritt Kern(A) [mm]\not=[/mm] 0 => det(A) = 0
> nicht
Wäre det(A) [mm] \not= [/mm] 0, so wäre A invertierbar und damit Kern(A) = {0}
FRED
>
> Also der Vektor [mm]\vec{1}[/mm] liegt im Nullraum von A aber die
> Folgerung...
> Die Determinante ist ja nur Null wenn eine Nullzeile
> auftritt?
Unfug ! [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] hat Det = 0, aber keine Nullzeile
>
> Bitte um Nachsicht :) - mir ist das alles relativ neu.
>
> lg
>
>
>
|
|
|
|
