Zeigen einer Mengengleichheit < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 So 28.10.2012 | | Autor: | apple314 |
| Aufgabe | Seien A,B,C,D und I beliebige nichtleere Mengen. Weiterhin sei für jedes i [mm] \in [/mm] I ein [mm] M_{i} \subseteq [/mm] D gegeben. Dann definieren die [mm] M_{i} [/mm] eine Abbildung I [mm] \to \mathcal{P}(D) [/mm] durch i [mm] \mapsto M_{i}. [/mm] Man nennt I "Indexmenge" zu der Menge { [mm] M_{i}|i \in [/mm] I} [mm] \subseteq \mathcal{P}(D).
[/mm]
Zeigen Sie:
a) A \ (B [mm] \cup [/mm] C) = (A \ B) [mm] \cap [/mm] (A \ C)
b) A [mm] \times \bigcap_{i \in I} M_{i} [/mm] = [mm] \bigcap_{i \in I} [/mm] (A [mm] \times M_{i})
[/mm]
c) [mm] \bigcup_{i \in I} \mathcal{P}(M_{i}) \subseteq \mathcal{P}(\bigcup_{i \in I} M_{i})
[/mm]
d) Gilt in c) auch die umgekehrte Inklusion [mm] ("\supseteq")? [/mm] Belegen Sie Ihre Behauptung. |
Hallo zusammen!
Für Aufgabe a) bin ich wie folgt vorgegangen:
A \ (B [mm] \cup [/mm] C) = (A \ B) [mm] \cap [/mm] (A \ C) (=Distributivgesetz)
A \ (B [mm] \cup [/mm] C)
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A \ B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A \ C
[mm] \gdw [/mm] (A \ B) [mm] \cap [/mm] (A \ C) = A \ (B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \Box [/mm] .
Falls das so überhaupt richtig ist, würde ich behaupten, dass das ja noch relativ einfach war. Probleme treten für mich jetzt bei Aufgabe b) ff. auf. Ich hab versucht, mir die einzelnen AUssagen erstmal selbst grafisch darzustellen um mir so vielleicht zu helfen, aber irgendwie hab ich echte Probleme damit, die Aussage zu verstehen, geschweige denn, zu zeigen, dass sie wahr ist.
Wenn vielleicht jemand einen Tipp hätte, wie ich in der Sache vorankommen kann, wäre ich sehr dankbar!
Grüße,
apple314
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 So 28.10.2012 | | Autor: | Pia90 |
> Seien A,B,C,D und I beliebige nichtleere Mengen. Weiterhin
> sei für jedes i [mm]\in[/mm] I ein [mm]M_{i} \subseteq[/mm] D gegeben. Dann
> definieren die [mm]M_{i}[/mm] eine Abbildung I [mm]\to \mathcal{P}(D)[/mm]
> durch i [mm]\mapsto M_{i}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Man nennt I "Indexmenge" zu der
> Menge { [mm]M_{i}|i \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
I} [mm]\subseteq \mathcal{P}(D).[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> a) A \ (B [mm]\cup[/mm] C) = (A \ B) [mm]\cap[/mm] (A \ C)
> b) A [mm]\times \bigcap_{i \in I} M_{i}[/mm] = [mm]\bigcap_{i \in I}[/mm] (A
> [mm]\times M_{i})[/mm]
> c) [mm]\bigcup_{i \in I} \mathcal{P}(M_{i}) \subseteq \mathcal{P}(\bigcup_{i \in I} M_{i})[/mm]
>
> d) Gilt in c) auch die umgekehrte Inklusion [mm]("\supseteq")?[/mm]
> Belegen Sie Ihre Behauptung.
> Hallo zusammen!
>
> Für Aufgabe a) bin ich wie folgt vorgegangen:
>
> A \ (B [mm]\cup[/mm] C) = (A \ B) [mm]\cap[/mm] (A \ C)
> (=Distributivgesetz)
>
> A \ (B [mm]\cup[/mm] C)
> [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] A \ B [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] A \ C
Dürft ihr das benutzen bzw. habt ihr das schon bewiesen?
> [mm]\gdw[/mm] (A \ B) [mm]\cap[/mm] (A \ C) = A \ (B [mm]\cup[/mm] C) [mm]\Box[/mm] .
Ich weiß nicht, was ihr alles nutzen dürft und was nicht, aber ich wäre eher wie folgt vorgegangen
z.z. A \ (B [mm] \cup [/mm] C)
x [mm] \in [/mm] A \ (B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cup C)^c \gdw [/mm] (mit de Morgan) x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in (B^c \cap C^c) [/mm] = ...
>
> Falls das so überhaupt richtig ist, würde ich behaupten,
> dass das ja noch relativ einfach war. Probleme treten für
> mich jetzt bei Aufgabe b) ff. auf. Ich hab versucht, mir
> die einzelnen AUssagen erstmal selbst grafisch darzustellen
> um mir so vielleicht zu helfen, aber irgendwie hab ich
> echte Probleme damit, die Aussage zu verstehen, geschweige
> denn, zu zeigen, dass sie wahr ist.
>
> Wenn vielleicht jemand einen Tipp hätte, wie ich in der
> Sache vorankommen kann, wäre ich sehr dankbar!
>
> Grüße,
> apple314
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo apple314 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Probleme treten für
> mich jetzt bei Aufgabe b) ff. auf. Ich hab versucht, mir
> die einzelnen AUssagen erstmal selbst grafisch darzustellen
> um mir so vielleicht zu helfen, aber irgendwie hab ich
> echte Probleme damit, die Aussage zu verstehen, geschweige
> denn, zu zeigen, dass sie wahr ist.
>
> Wenn vielleicht jemand einen Tipp hätte, wie ich in der
> Sache vorankommen kann, wäre ich sehr dankbar!
Spiel zunächst mal ein Beispiel durch! Ich gebe dir mal eines vor:
[mm] $I=\{1,2\}$, $A=\{13,27\}$, $D=\{a,b,c,d\}$, $M_1=\{a,b\}$, $M_2=\{b,c\}$.
[/mm]
Berechne mal für dieses Beispiel
1. $A [mm] \times \bigcap_{i \in I} M_{i}$,
[/mm]
2. [mm] $\bigcap_{i \in I} [/mm] (A [mm] \times M_{i})$,
[/mm]
3. [mm] $\bigcup_{i \in I} \mathcal{P}(M_{i})$ [/mm] und
4. [mm] $\mathcal{P}(\bigcup_{i \in I} M_{i})$.
[/mm]
Gehe dazu kleinschrittig vor.
Für 1. ersteinmal [mm] $\bigcap_{i\in I}M_i$ [/mm] bestimmen,
für 2. zuerst [mm] $(A\times M_1)$ [/mm] und [mm] $(A\times M_2)$,
[/mm]
für 3. [mm] $\mathcal{P}(M_1)$ [/mm] und [mm] $\mathcal{P}(M_2)$
[/mm]
und schließlich für 4. [mm] $\bigcup_{i\in I}M_i$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
