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| Aufgabe | Sei M = {n/m; n,m aus [mm] \IN [/mm] }
Zeigen Sie, dass M nicht beschränkt ist, indem Sie für alle N > 0 (diese Notation impliziert N aus [mm] \IR, [/mm] sofern nicht explizit etwas anderes gegeben ist) ein x aus M angeben mit |x|>= N. |
Hallo,
Bin unglücklicher Informatik-Ersti und brauche Hilfe.
(1. Frage) Die Menge M kann man auch als M = {x aus [mm] \IQ; [/mm] x > 0} definieren, da n und m aus [mm] \IN [/mm] sind, richtig?
Bin jetzt bei der Beschränktheit ziemlich verwirrt... In der Wikipedia steht: "Eine Menge S reeller Zahlen heißt nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl k mit k >= s für alle s aus S gibt. Jede solche Zahl k heißt obere Schranke von S. Die Begriffe nach unten beschränkt und untere Schranke sind analog definiert."
(2. Frage) Müssen wir hier zeigen, dass die Menge M nicht nach oben beschränkt ist?
Wenn wir hier aber M = [mm] \IQ [/mm] positiv und das N > 0 noch aus [mm] \IR [/mm] haben, wie soll man dann mit der Beschränktheit umgehen?
Ich habe versucht die Definition aus Wikipedia anzuwenden, aber da kriegt man dann was Komisches heraus: Die Menge M heißt nach oben beschränkt, wenn es ein N > 0 (N aus [mm] \IR) [/mm] mit |x| >= N für alle x aus M gibt.
In der Aufgabenstellung steht aber gerade umgekehrt: "für alle
N > 0 ein |x| >= N angeben".
(3. Frage) Wie soll man denn eigentlich dies alles "angeben"?
Ich bin total verwirrt. Bitte um Hilfe. Schönen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 Mi 25.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja, du sollst zeigen, dass M NICHT beschränkt ist, also ist es logisch, dass in der Aufgabe genau das Gegenteil von der Wiki-Definition von beschränktheit steht, oder?
also schau dir doch mal deine Menge M an - m=1 ist auch immer möglich, oder?
Also weißt du dass jedes n aus [mm] $\IN$ [/mm] mit [mm] $\bruch{n}{1}$ [/mm] in M vorhanden ist.
jetzt kommt der Beweis der Nicht-Beschränktheit:
Angenommen M wäre beschränkt, dann gibt es ein K mit K>=s für jedes s aus M.
wähle die nächst größere natürliche Zahl n' über K.
(du kannst ein beliebige größere Zahl nehmen z.B "(k+1) aufgerundet")
dann weiß man, dass mit [mm] $\bruch{n'}{1}=:s$ [/mm] ein gößeres s in M existiert, was einen Widerspruch darstellt, und damit kann M nicht (nach oben) beschränkt sein.
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:15 Mi 25.10.2006 | | Autor: | kitamrofni |
Hi,
Es geht. Danke nochmals.
Schöne Grüße
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