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Hallo zusammen
Bin gerade an folgender Aufgabe
Zeige, dass alle Richtungsableitungen von
f: [mm] \IR^2 \to \IR, [/mm] f(x,y):= [mm] \begin{cases} \bruch{y^2*sin(x)}{x^2+y^4}, & \mbox{für } (x,y) \not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}
[/mm]
im Punkt (0,0) existieren , aber f im Punkt (0,0) nicht stetig ist.
Dass alle Richtungsableitungen von f im Punkt (0,0) konnte ich (denke ich) zeigen.
Um zu zeigen, dass f nicht stetig ist, habe ich Beispiele im Internet angeschaut, dort wird es entweder mit einem Gegenbeispiel gezeigt, oder anhand vom Folgenkriterium.
Dies mit dem Folgenkriterium funktioniert bei mir nicht, da ich ja einen sin(x) drin habe.
Und ein Gegenbsp. hab ich auch nicht gefunden.
Könnte mir jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Mo 24.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hallo zusammen
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> Bin gerade an folgender Aufgabe
> Zeige, dass alle Richtungsableitungen von
> f: [mm]\IR^2 \to \IR,[/mm] f(x,y):= [mm]\begin{cases} \bruch{y^2*sin(x)}{x^2+y^4}, & \mbox{für } (x,y) \not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
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> im Punkt (0,0) existieren , aber f im Punkt (0,0) nicht
> stetig ist.
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> Dass alle Richtungsableitungen von f im Punkt (0,0) konnte
> ich (denke ich) zeigen.
> Um zu zeigen, dass f nicht stetig ist, habe ich Beispiele
> im Internet angeschaut, dort wird es entweder mit einem
> Gegenbeispiel gezeigt, oder anhand vom Folgenkriterium.
> Dies mit dem Folgenkriterium funktioniert bei mir nicht, da
> ich ja einen sin(x) drin habe.
> Und ein Gegenbsp. hab ich auch nicht gefunden.
>
> Könnte mir jemand weiterhelfen?
Nähere dich der Funktion durch verschiedener Geraden an und
zeige, dass die Grenzwerte nicht übereinstimmen.
Annährung auf der x-Achse:
[mm] \lim_{(x,0)\to(0,0)}f(x,0)
[/mm]
Annährung auf der y-Achse:
[mm] \lim_{(0,y)\to(0,0)}f(0,y)
[/mm]
Annährung auf der Geraden $y=x$:
[mm] \lim_{(x,x)\to(0,0)}f(x,x)
[/mm]
...
Alternativ empfehle ich auch Polarkoordinaten!
edit: Ich habe das übrigens nicht ausprobiert, aber das ist
der 0815 Plan.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Mo 24.03.2014 | | Autor: | fred97 |
Berechne
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0+0}f(x, \wurzel{x})$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Mo 24.03.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Vielen Dank euch beiden!
Mit [mm] \limes_{x\rightarrow\0}f(x,\wurzel(x)) [/mm] hats wunderbar gepasst!
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