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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Mi 21.09.2011 | | Autor: | GK13 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass jeder Innenproduktraum V auch normierter Vektorraum ist, indem Sie nachweisen, dass durch
||x|| := [mm] \wurzel{(x,x)} [/mm] , x [mm] \in [/mm] V
eine Norm auf V definiert wird. |
Hey, habe eine Frage zur obigen Aufgabe.
Habe folgendermaßen angefangen:
(N1) ||x|| [mm] \ge [/mm] 0
||x|| = 0 <=> x=0
||x|| := [mm] \wurzel{(x,x)} \ge [/mm] 0, da (x,x) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V (da inneres Produkt)
[mm] \wurzel{(x,x)} [/mm] = 0 <=> x = 0, da (x,x) = 0 <=> x = 0 (da inneres Produkt)
(N2) || [mm] \alpha [/mm] x || = | [mm] \alpha [/mm] | ||x||
jetzt habe ich so angefangen:
[mm] \wurzel{(\alpha x, \alpha x)} [/mm] = [mm] \wurzel{(\alpha (x, \alpha x)}, [/mm] da inneres Produkt ( [mm] (\alpha [/mm] u + [mm] \beta [/mm] v,y) = [mm] \alpha [/mm] (u,y) + [mm] \beta [/mm] (v,y) )
und weiß jetzt nicht weiter.
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
Ein Tipp wäre super.
Auch ein Tipp zur Dreiecksungleichung wäre Klasse.
Wäre echt super, wenn jemand mir einen Tipp gäbe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Mi 21.09.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu N2:
$ [mm] ||\alpha [/mm] x||= [mm] \wurzel{(\alpha x, \alpha x)} [/mm] = [mm] \wurzel{|\alpha|^2*(x,x)}=|\alpha| \wurzel{(x,x)}=|\alpha|*||x||$
[/mm]
Dreiecksungleichung: Ansatz:
[mm] $||x+y||^2=(x+y,x+y)$
[/mm]
Multipliziere aus und benutze die Cauchy- Schwarzsche Ungl.:
$|(a,b)| [mm] \le [/mm] ||a||*||b||$ (a,b [mm] \in [/mm] V)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Do 22.09.2011 | | Autor: | GK13 |
Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort und N2 ist ja super!
zu N3 hab ich noch eine Frage:
ich habe erstmal die Cauchy Schwarzsche Ungleichung umgeformt:
[mm] |(u,v)|^{2} \le [/mm] (u,u)(v,v)
<=> |(u,v)| [mm] \le \wurzel{(u,u)}\wurzel{(v,v)}
[/mm]
= ||u|| ||v||
Dann gings weiter:
[mm] ||x+y||^{2} [/mm]
= [mm] \wurzel{(x+y,x+y)}^{2}
[/mm]
= |(x+y,x+y)|
[mm] \le \wurzel{(x+y,x+y)} \wurzel{(x+y,x+y)}
[/mm]
(sei u=v=x+y)
= ||u|| ||v||
..was ja ganz gut aussieht, aber dann fiel mir auf, dass es ja jetzt mal ist und N3 ist ja ||u+v|| [mm] \le [/mm] ||u||+||v||
also hab ich wohl irgendwie den Sinn vom umformen noch nich ganz verstanden?!
EDIT:
Ich habe es jetzt noch anders gelöst:
(x+y,x+y) = (x,x)+(y,y)+(x,y)+(y,x)
= [mm] ||x||^{2}+||y||^{2}+(x,y)+(y,x)
[/mm]
= [mm] ||x||^{2}+||y||^{2}+2(x,y) [/mm] (wegen Symmetrie)
[mm] \le ||x||^{2} [/mm] + [mm] ||y||^{2} [/mm] + 2 ||x|| ||y||
=
[mm] (||x||+||y||)^{2}
[/mm]
Ist es so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Do 22.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort und N2 ist ja
> super!
>
> zu N3 hab ich noch eine Frage:
> ich habe erstmal die Cauchy Schwarzsche Ungleichung
> umgeformt:
>
> [mm]|(u,v)|^{2} \le[/mm] (u,u)(v,v)
> <=> |(u,v)| [mm]\le \wurzel{(u,u)}\wurzel{(v,v)}[/mm]
>
> = ||u|| ||v||
>
> Dann gings weiter:
> [mm]||x+y||^{2}[/mm]
> = [mm]\wurzel{(x+y,x+y)}^{2}[/mm]
> = |(x+y,x+y)|
> [mm]\le \wurzel{(x+y,x+y)} \wurzel{(x+y,x+y)}[/mm]
> (sei u=v=x+y)
> = ||u|| ||v||
>
> ..was ja ganz gut aussieht,
Ne, das ist Murks.
Ich gehe mal davon aus, dass V ein reeller Raum ist (überlege Du Dir , wie Du das Folgende im komplexen Fall modifizieren mußt).
$ [mm] ||x+y||^2=(x+y,x+y)= [/mm] (x,x)+2(x,y)+(y,y) = [mm] ||x||^2 [/mm] +2(x,y)+ [mm] ||y||^2 \le ||x||^2 [/mm] +2|(x,y)|+ [mm] ||y||^2 \le ||x||^2 [/mm] +2||x||*||y||+ [mm] ||y||^2 =(||x||+||y||)^2$
[/mm]
FRED
aber dann fiel mir auf, dass es
> ja jetzt mal ist und N3 ist ja ||u+v|| [mm]\le[/mm] ||u||+||v||
> also hab ich wohl irgendwie den Sinn vom umformen noch
> nich ganz verstanden?!
>
> EDIT:
> Ich habe es jetzt noch anders gelöst:
>
> (x+y,x+y) = (x,x)+(y,y)+(x,y)+(y,x)
> = [mm]||x||^{2}+||y||^{2}+(x,y)+(y,x)[/mm]
> = [mm]||x||^{2}+||y||^{2}+2(x,y)[/mm] (wegen Symmetrie)
> [mm]\le ||x||^{2}[/mm] + [mm]||y||^{2}[/mm] + 2 ||x|| ||y||
> =
> [mm](||x||+||y||)^{2}[/mm]
>
> Ist es so korrekt?
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