Zeichnen einer Wackelfunktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Do 16.12.2010 | | Autor: | Kathi144 |
| Aufgabe | De finiere die "Zackenfunktion" Z : [0; [mm] \infty) \to \IR [/mm] durch
[mm] Z(x)=\begin{cases} x-4k-1, {\ fuer\ x\ \in [4k; 4k + 2), k \in \IN_0 } \\ 4k+3-x , {\ fuer\ x\ \in [4k + 2; 4k + 4), k \in \IN_0} \end{cases}
[/mm]
und die "Wackelfunktion" W : (0, [mm] \infty) \to \IR [/mm] durch W(x) := Z (1/x).
Zeichnen Sie die Graphen von Z und W und beweisen Sie, dass W stetig ist, aber nicht gleichmäßig stetig. |
Hallo,
ich habe zwei Fragen zu der Aufgabe.
Mit dem Zeichnen der Zackenfunktion habe ich keine Probleme, allerdings mit dem Zeichen der Wackelfunktion. Ich habe für die Definition von W(x) einfach das x in Z(x) durch 1/x ersetzt und versucht, mit Wertetabelle einen Graphen zu zeichnen, allerdings habe ich immer "Sprünge" in meiner Funktion, die aber doch nach Aufgabenstellung stetig sein müsste. Aber wenn ich mein Intervall von (0,2) und [2,4) habe, kann ich die beiden doch nicht einfach bei x=2 verbinden, oder? Hätte gerne einen Tipp dazu, habe glaube ich einen Denkfehler, aber weiß nicht wo der liegt.
Meine zweite Frage ist zu dem Beweis. Und zwar habe ich den Unterschied noch nicht ganz verstanden zwischen stetig und gleichmäßig stetig.
Unsere Definition von Stetigkeit:
"f: [mm] \IR \to [/mm] D ist genau dann stetig in [mm] x_{0}, [/mm] wenn gilt: Für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 existiert ein [mm] \delta [/mm] >0, sodass für alle x [mm] \in [/mm] D, [mm] |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] folgt, dass [mm] |f(x)-f(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon."
[/mm]
Unsere Definition von gleichmäßiger Stetigkeit:
"f: [mm] \IR \to [/mm] D ist gleichmäßig stetig in D, falls: zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] \delta [/mm] > 0, sodass für alle x,y [mm] \in [/mm] D mit |x-y| < [mm] \delta [/mm] folgt, dass |f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon."
[/mm]
Für mich sieht das gleich aus, wenn man [mm] x_{0} [/mm] durch y ersetzt. Kann mir vielleicht nochmal jemand den Unterschied erklären?
Danke schonmal im Voraus.
Liebe Grüße, Kathi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:38 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Kathi,
bei der Definition von Z(x) blicke ich grad nicht so durch, mir scheint, du hast zweimal denselben Abschnitt für x angegeben (vlt. Copy/Paste Fehler?)
Aber ich kann dir was zum Unterschied Stetigkeit/glm Stetigkeit sagen:
Bei beiden Stetigkeiten, darf das [mm] \delta [/mm] von [mm] \epsilon [/mm] abhängen, klar. Bei der normalen Stetigkeit hängt es im Allgemeinen auch noch von der Stelle [mm] x_0 [/mm] ab. Zum Beispiel bei [mm] f(x)=x^2. [/mm] Wenn man mal ein [mm] \epsilon=1 [/mm] vorgibt, kommt es jetzt auf die Stelle [mm] x_0 [/mm] an, wie gross das [mm] \delta [/mm] sein darf. Da die Funktion je weiter man von der Null weggeht immer steiler wird, darf zB bei [mm] $x_0=0 [/mm] $ [mm] $|x_0-x|<\delta=1$ [/mm] sein, damit noch [mm] |f(x_0)-f(x)|<\epsilon=1 [/mm] gilt, ist man weiter weg von der Null, wo die Funktion steiler ist, sagen wir [mm] x_0=8, [/mm] da muss [mm] \delta [/mm] schon viel kleiner sein, damit die Funktionswerte immer noch nur 1 auseinander sind (weil die Steigung dann (betragsmässig) grösser ist.)
Bei der glm Stetigkeit, darf das [mm] \delta [/mm] nicht mehr von der Stelle abhängen an der die Stetigkeit geprüft wird. Das kann zB sein, weil man nur auf einem kompakten Intervall die Stetigkeit zeigen muss, dann kann man nämlich mit dem [mm] x_0 [/mm] nicht beliebig weit nach rechts oder links gehen und es gibt ein [mm] \delta, [/mm] dass dann so klein ist (in Abhängigkeit von [mm] \epsilon), [/mm] dass es für alle Stellen im Intervall gilt. Es kann aber auch zB sein, dass die Steigung der Funktion beschränkt ist (zB. bei [mm] \sin(x)), [/mm] dann ist sie auch glm stetig, weil man ein [mm] \delta [/mm] wählen kann, dass an der steilsten Stelle(die es ja dann gibt) gilt, und das kann man dann auch für weniger steile Stellen benutzen.
Ich hoffe, es wurde ein bisschen klarer. Die Andern erklären es dir bestimmt sonst auch noch mal (besser).
LG walde
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Kathi144 |
Hallo Walde,
danke für deine Antwort!
Habe den Fehler in der Funktion Z(x) korrigiert, hatte das Intervall falsch eingetippt.
Den Unterschied zwischen Stetigkeit und gleichmäßiger Stetigkeit habe ich jetzt verstanden, aber wie genau soll ich den Unterschied beweisen?
Wäre schön, wenn mir das vielleicht jemand an einem Beispiel erklären könnte. Auch gerne ein anderes als das oben genannte.
LG, Kathi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Sa 18.12.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> De finiere die "Zackenfunktion" Z : [0; [mm]\infty) \to \IR[/mm]
> durch
> [mm]Z(x)=\begin{cases} x-4k-1, {\ fuer\ x\ \in [4k; 4k + 2), k \in \IN_0 } \\ 4k+3-x , {\ fuer\ x\ \in [4k + 2; 4k + 4), k \in \IN_0} \end{cases}[/mm]
>
> und die "Wackelfunktion" W : (0, [mm]\infty) \to \IR[/mm] durch W(x)
> := Z (1/x).
> Zeichnen Sie die Graphen von Z und W und beweisen Sie,
> dass W stetig ist, aber nicht gleichmäßig stetig.
>
> ich habe zwei Fragen zu der Aufgabe.
>
> Mit dem Zeichnen der Zackenfunktion habe ich keine
> Probleme, allerdings mit dem Zeichen der Wackelfunktion.
Dann überleg dir vielleicht, wo der Zacken, der bei Z zwischen 12 und 16 liegt, bei W zu liegen kommt. Mach dir klar, daß Z(12) = W(1/12) ist. Du wirst dann merken, daß du mit dem Zeichnen von W in der Umgebung von 0 in Probleme kommst. Das hängt mit der fehlenden gleichmäßigen Stetigkeit zusammen, es gibt bei W beliebig große Steigungen.
Gruß aus HH
Dieter
|
|
|
|
