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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Luni |
Hallo Leute,
Ich habe seit diesem Semester Zahlentheorie an der Uni, habe jedoch den Faden schon nach ein paar Stunden verloren.
Kann mir jemand vielleicht erklären, wie "Division mit Rest" genau abläuft, und wann ich diese anwenden kann??
Danke,
Luni
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Di 26.04.2005 | | Autor: | MicMuc |
Ich hoffe Du weisst, was eine ganzahlige Division ist.
Ein Beispiel:
"21 : 5"= 4 + 1:5
Der Informatiker schreibt auch:
21 div 5 = 4 (salopp gesagt: "Wie oft passt die 5 in die 21?").
21 mod 5 = 1 (das ist der REST bei der Gaznzahldivision von 21 durch 5).
Background:
Es sei I ein Ideal in dem kommutativen Ring R:
Für r aus R ist die Restklasse [r] definiert durch r+I, d.h. die Menge aller Elemente der Bauart r+i mit i aus I.
Man sagt, r aus R steht in Relation zu s aus R, wenn [r] = [s], d.h. r-s liegt in dem Idela I. Dies ist eine Äquivalenzrelation und man erhält damit eine Partition von R in sogenannte Äquivalenzklassen.
Die Menge aller Äquivalenzklassen (man nennt diese hier dann auch einfach Restklassen) bilden dann ein neues Obejekt R/I, halt diesen sogenannten Restklassenring. Ring deshalb, weil man auf diesen Klassen eine "natürliche" Addition und Multiplikation definieren kann, die sich von der Struktur des Ringes R ableitet.
Im Spezialfall R=Z (ganzen Zahlen) ist jedes Ideal ein Hauptideal (Z ist sogar ein euklidischer Ring) und somit von der Form (n) = nZ = die Menge aller ganzahligen Vielfachen von n.
Der Restklassenring Z/nZ besitzt somit ein "natürliches" Repräsentantensystem bzgl. der Äquivalenz- bzw. Restklassen:
[0], [1], ... ,[n-1]
Das Rechnen mit diesen Klassen kann also mittels der Zahlen 0, 1, ... ,n-1 dargestellt werden und "gerechnet wird über den Rest bei der ganzzahligen Division durch n". (mann sagt auch Moidulo-Rechnen)
Häufigste Anwendungen:
GGT bestimmen (euklidischer Algorithmus), aber diese Restklassenringe interessieren auch "für sich".
Ein Tipp:
Nimm die Stunden des Tages als Uhrzeit (z.B. von 0 bis 23 Uhr):
Du kanst dann Uhrzeiten addieren:
19 (Uhr) + 11 (Uhr) = 6 (Uhr)
(Rechnung: 19 + 11 = 30 modulo 24 = 6)
Theoretisch kann man auch multiplizieren:
8 (Uhr) mal 6 = 12 (Uhr)
Was man da macht ist Rechnen im Restklassen Ring Z/24Z.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Di 26.04.2005 | | Autor: | Luni |
Hallo MicMuc,
Vielen Dank für Deine ausführliche Antwort.
Wir sind zwar noch nicht so weit in der Vorlesug (denn wir haben erst heute den Begriff "Restklasse" behandelt), aber den Sinn der Sache habe ich nun verstanden.
Danke,
Luni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Di 26.04.2005 | | Autor: | Luni |
Hallo alle zusammen,
Als Hausaufgabe hatten wir in Zahlentheorie diese Aufgabe:
gegeben war:
m>n>0; [mm] 0\le [/mm] r<n; m,n [mm] \varepsilon \IZ; [/mm] Division mit Rest m=qn+r
Und man sollte zeigen, dass es dann folgendes ergibt:
[mm] 2^{m} [/mm] - 1 = Q [mm] (2^{n} [/mm] - 1) + [mm] 2^{r} [/mm] - 1
mit geeignetem Q [mm] \varepsilon \IZ
[/mm]
Mein Rechenweg war:
[mm] 2^{m} [/mm] - 1 = Q [mm] (2^{n} [/mm] - 1) + [mm] 2^{r} [/mm] - 1 [mm] \gdw
[/mm]
[mm] 2^{m} [/mm] = Q [mm] (2^{n} [/mm] - 1) + [mm] 2^{r} \gdw
[/mm]
[mm] log_{2}m [/mm] = Q [mm] (log_{2}n [/mm] - 1) + [mm] log_{2}r \gdw
[/mm]
[mm] log_{2}m [/mm] = [mm] log_{2} [/mm] (Q (n - 1) + r) [mm] \gdw
[/mm]
m = Q (n - 1) + r
Ich würde nun gerne wissen, ob diese Lösung in Ordnung ist, oder ob sie total falsch ist.
Danke,
Luni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Deine Lösung ist nicht richtig, weil du die  Logarithmengesetze leider nicht beachtest.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe (bitte nachrechnen, habe nur wenig Zeit), sollte
$Q= [mm] \sum\limits_{i=1}^q 2^{(q-i) \cdot n +r}$
[/mm]
eine geeignete Lösung sein.
Viele Grüße
Julius
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