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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 So 12.06.2005 | | Autor: | Bonnie |
Sei p Primzahl
zu zeigen:
[mm] 1^2*3^2*5^2*....*(p-2)^2\equiv 2^2*4^2*6^2*...(p-1)^2\equiv(-1)^{(p+1)/2} [/mm] (mod p)
steh glaub ich voll auf dem Schlauch...
mit Fieber läßt es sich halt nich so gut denken..
hoffe mir kann jemand helfen
liebe Grüße Bonnie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Mo 13.06.2005 | | Autor: | subito |
p=2 nachrechnen. Ab hier p ungerade.
a) Die Gleichung [mm] x^{2} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] hat mod p 2 Lösungen nämlich +a und -a. Also ist bei Wahl von Repräsentanten aus {0,1,...,p-1} ein Räpresentant gerade und einer ungerade.
Daraus lässt sich schon mal folgern, dass die ersten beiden Seiten der Gleichung den gleichen Wert haben.
b) Sei r eine primitive (p-1)-te Wurzel modulo (also ein Erzeugendes der mult. Gruppe). Dann ist s := [mm] r^{2} [/mm] erzeugendes zyklischen multiplikativen Untergruppe der Quadrate. Wegen der Überlegung aus a) wissen wir, dass sowohl [mm] 1^{2}, 3^{2}, [/mm] .., [mm] (p-2)^{2} [/mm] also auch [mm] 2^{2}, 4^{2}, [/mm] .., [mm] (p-1)^{2} [/mm] ein Repräsentantensystem aller Elemente dieser von s erzeugten Gruppe ist.
Nun hat man zwei Wege zum Ziel:
b1) [mm] s^{1} [/mm] * [mm] s^{2} [/mm] * .. * [mm] s^{(p-1)/2} [/mm] ausmultiplizieren, d.h. Exponenten ausrechnen und erst eine bekannte Summenformel und dann den "kleinen Fermat" nutzen.
b2) Sich überlegen, was rauskommt, wenn man die alle Elemente einer endlichen abelschen mult. Gruppen ausmultipliziert. Im Produkt steht zu fast jedem Element auch das Inverse.
c) Das Vorzeichen im Ergebnis hat damit zu tun, ob die Gleichung
[mm] x^{2} [/mm] = -1 (mop p) lösbar ist.
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