Zahlenreihen n gesucht < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Mann scheidet aus Firma aus; Pensionsbezüge erstes Jahr monatl. 1000,-/jährlich 12.000,-. Monatsrente wird jährlich um 80,- erhöht.
Nach welcher Zeit übersteigt der insgesamt ausgezahlte Betrag 400.000,-? |
| Aufgabe 2 | Vorstand scheidet aus Betrieb aus. Pensionszusage: 1. Jahr 200.000,-, nach jedem Jahr Abnahme um 25% der Vorjahrespension.
Nach wieviel Jahren liegt Auszahlung erstmals unter 1,-? |
Hallo, habe Probleme bei der Lösung der Aufgaben, sind ja beide recht ähnlich.
Gesucht ist beides mal n, also das nte Glied, hier das Jahr.
Habe zur ersten einen Ansatz, ausgehend von der Formel für arithmet. Reihen:
[mm] S_{n}=\bruch{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)
[/mm]
mein [mm] S_{n}400.000, [/mm] d=12*80, also 960, [mm] a_{1}=12.000;
[/mm]
eingesetzt ergibt das:
[mm] 400.000=\bruch{n}{2}(2*12.000+(n-1)*960)
[/mm]
ausmultipliziert und zusammengefasst
[mm] 400.000=12.000n+(\bruch{n^{2}}{2}-\bruch{n}{2})*960;
[/mm]
das kann ich weiter zusammenfassen und zu einer quadratischen Lösungsformel zusammensetzen und erhalte:
[mm] 0=480n^{2}+11.520n-400.000 [/mm] /:480
[mm] 0=n^{2}+24n-833,33;
[/mm]
nach pq-Formel gelöst erhalte ich
[mm] x_{1}=-12+31,26=19,26 [/mm] und [mm] x_{2}=-12-31,26=-43,26,
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] scheint die einzig reelle Lösung, da es keine negativen Jahreszahlen geben sollte.
D.h., nach 19,3, also 19 Jahren und 4 Monaten übersteigt der insgesamt ausgezahlte Betrag 400.000,-.
Das Ergebnis scheint richtig, lt. Lösungsvorschlag, allerdings erscheint mir der Weg etwas kompliziert, da es nur eine kleine Teilaufgabe unseres Übungsblattes ist.
Bei der 2ten Aufgabe würde ich mit einem ähnlichen Rechenweg rangehen, allerdings dann von der Formel:
[mm] a_{n}=a_{1}*q^{n-1};
[/mm]
mein [mm] a_{n}=1, a_{1}=200.000 [/mm] und q=0,75;
das führt dann auf:
[mm] 1=200.000*0,75^{n-1} /:200.000/lg_{0,75}
[/mm]
[mm] lg_{0,75}\bruch{1}{200000}=n-1/ [/mm] über Basiswechsel links und dann +1
erhalte ich: n=43,43
Die vorgegebene Lösung ist 44 Jahre.
Ich schätze es gibt noch einen einfachen Weg, nur welchen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Di 27.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich gibts keinen anderen Weg.Du hast das gut gemacht.
Schwierigkeiten machen ja höchstens das Aufstellen der Gl. das habt ihr sicher geübt. und das Lösen einer quadratischen Gl oder einer einfachen exp Gleichung sollte auch schnell gehen.
Gruss leduart
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Hallo,
mich wundert nur, dass bei Aufgabe 19 Jahre und 4 Monate rauskommt und bei Aufgabe 2 glatte 44 Jahre, so steht es zumindest in der vorgegeben Lösung.
MfG
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Hallo Hoffmann79,
> Hallo,
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> mich wundert nur, dass bei Aufgabe 19 Jahre und 4 Monate
> rauskommt und bei Aufgabe 2 glatte 44 Jahre, so steht es
> zumindest in der vorgegeben Lösung.
>
Bei solchen Textaufgaben, die nahe an der Wirklichkeit liegen, rundet man bei der Antwort gerne sinnvoll.
Gruß informix
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