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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 So 13.08.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Welche x erfüllen die Ungleichung?
[mm] x+1\le2|x|\le2+x [/mm] , [mm] x\varepsilon \IR, [/mm] |
Einen schönen Sonntag an euch alle,
ich hab zu dieser Aufgabe mal eine Frage,
also ich ziege euch mal meine Ansatz
erstmal algemein:
[mm] a\le b\wedge b\le c\Rightarrow a\le [/mm] c
dann betrachte ich
[mm] x+1\le2|x| [/mm] jetzt versuche ich umzustellen komme aber nur soweit
[mm] \bruch{ x+1}{|x|}\le2
[/mm]
kann man das noch weiter umformen? jetzt könnte ich ja nur durch einsetzen auf eine Lösung kommen. Dafür hätte ich aber nicht umformen brauchen, oder?
soweit erstmal vielen Dank gruß hooover
p.s. durch bloßes einsetzen käme ich auf die Lösung
[mm] \forall:x\varepsilon \IR [/mm] \ {x>0<1}
weiß nicht ob die schreibweise so richtig ist gemeint ist
für alle x aus für [mm] \varepsilon [/mm] außer x>0 bis kleiner 1
vielen dank hooover
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 So 13.08.2006 | | Autor: | hooover |
> [mm]\forall:x\varepsilon \IR[/mm] \ {x>0<1}
>
> weiß nicht ob die schreibweise so richtig ist gemeint ist
>
> für alle x aus für [mm]\varepsilon[/mm] außer x>0 bis kleiner 1
>
> vielen dank hooover
oh ich sehe gerade das dass nicht stimmt es müßte heißen
als ofür alle x außer
[mm] x\le\bruch{1}{3}\wedge [/mm] x < 1 ist die aussage wahr
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 So 13.08.2006 | | Autor: | hooover |
ich habe das jetzt mal anders gemacht undzwar:
[mm] x+1\le2|x|
[/mm]
[mm] x+1-2|x|\le0
[/mm]
dann mache ich eine Fallunterscheidung
Bed.: [mm] x+1\le0 [/mm] und [mm] -2|x|\le0
[/mm]
dann betrachte ich erstmal
[mm] x+1\le0 [/mm] , dies gilt für [mm] \forall: x\varepsilon\IR{x\le0}
[/mm]
dann
[mm] -2|x|\le0 [/mm] , dies gilt für [mm] \forall: x\varepsilon\IR{\pm\infty}
[/mm]
naja aber wenn ich das in [mm] x+1\le2|x| [/mm] einsetze dann stimmt das ja nicht
also ich mache habe irgendwo einen Denkfehler
bitte helft mir danke hooover
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> [mm]x+1\le0[/mm] , dies gilt für [mm]\forall: x\varepsilon\IR{x\le0}[/mm]
Das ist falsch.
$x+1 [mm] \le [/mm] 0$ lässt sich umformen zu $x [mm] \le [/mm] -1$, nicht zu $x [mm] \le [/mm] 0$.
Die allgemeine Lösungsstrategie habe ich dir gerade in meiner anderen Antwort geschrieben.
Gruß,
SirJective
PS: "x ist Element von R" schreibt sich $x \in \mathbb R$.
Das "mathbb" versetzt das nachfolgende Zeichen in die "blackboard bold"-Schriftart.
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Hallo Hoover.
Anscheinend weißt du noch gar nicht, wie du an Betragsgleichungen und Betragsungleichungen herangehen sollst.
Fangen wir mal mit einer Ungleichung an, die einen einzigen Betrag enthält, z.B. $x + 1 [mm] \le [/mm] |x|$.
Du suchst die Menge aller reellen Zahlen x, die diese Ungleichung erfüllen. Dazu machst du eine Fallunterscheidung: Die Lösungen die du suchst sind alle nichtnegativen Zahlen, die diese Ungleichung erfüllen, zusammen mit allen negativen Zahlen, die diese Ungleichung erfüllen.
Damit erhältst du nämlich zwei neue Probleme, die aber einfacher zu lösen sind:
a) $x + 1 [mm] \le [/mm] |x|$ und $x [mm] \ge [/mm] 0$
b) $x + 1 [mm] \le [/mm] |x|$ und $x < 0$
Im ersten Fall ist $|x|=x$, im zweiten Fall ist $|x|=-x$.
Du kannst also a) umformen zu
$x+1 [mm] \le [/mm] x$ und $x [mm] \ge [/mm] 0$.
Beachte, dass du alle Ungleichungen die du hast, mitschleppen musst.
Nun ist die erste Ungleichung, §x+1 [mm] \le [/mm] x$, unlösbar: x+1 ist niemals kleinergleich x. Also gibt es im Fall a) keine Lösungen.
Nun als b). Hier formst du die Ungleichungen um zu
$x+1 [mm] \le [/mm] -x$ und $x < 0$.
Umstellen liefert
$x [mm] \le [/mm] -1/2$ und $x < 0$.
Lösungen dieses Ungleichungspaars sind alle Zahlen x, die gleichzeitig kleinergleich -1/2 und kleiner als 0 sind. Das sind genau die Zahlen, die kleinergleich -1/2 sind. Da es für a) keine Lösungen gibt, sind das auch alle Lösungen der ursprünglichen Ungleichung:
$x + 1 [mm] \le [/mm] |x|$ hat die Lösungsmenge [mm] $\{ x \in \mathh R | x \le -1/2 \}$.
[/mm]
Wenn du nun aber nicht $|x|$, sondern $|x+1|$ in deiner Ungleichung hast, dann nützt eine Fallunterscheidung $x [mm] \ge [/mm] 0$ / $x < 0$ nichts, sondern du musst zwischen $x+1 [mm] \ge [/mm] 0$ und $x+1 < 0$ unterscheiden, um in den beiden Fällen die Betragsstriche loszuwerden. Jedesmal kriegst du aber eine zusätzliche Ungleichung, die du beachten musst.
$x+1 [mm] \le [/mm] 2|x|$ kannst du durch diese Fallunterscheidung lösen:
a) $x+1 [mm] \le [/mm] 2|x|$ und $x [mm] \ge [/mm] 0$
b) $x+1 [mm] \le [/mm] 2|x|$ und $x < 0$
Die Lösungsmenge der ursprünglichen Ungleichung ist die Vereinigung der beiden Lösungsmengen der Fälle a) und b).
(Ungleichungen mit mehreren Beträgen zu lösen, funktioniert prinzipiell genauso, wenn du einen Betrag nach dem anderen durch verschachtelte Fallunterscheidungen "auflöst".)
Gruß,
SirJective
Tipp: Indem du dir den Quelltext anderer Beiträge anzeigen lässt, erfährst du, wie andere ihre Formeln schreiben und kannst das selbst lernen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 So 13.08.2006 | | Autor: | hooover |
Vielen dank für die Hilfe hat mir sehr geholfen!
Ich habe für a)die Lösungsmenge
[mm] \{x\varepsilon\IR|x\ge1\wedge x\ge-\bruch{1}{3}\}
[/mm]
und für b)
[mm] \{x\varepsilon\IR|x\le2\wedge x\le-\bruch{2}{3}\}
[/mm]
das müßte soweit stimmen
wie aber bekomme ich die Vereinigung der beiden Lösungsmengen hin?
1001 Dank schon mal gruß hooover
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Ich komme auf andere Lösungemengen.
Schreib bitte noch deinen Rechenweg auf, damit wir den Fehler finden.
> wie aber bekomme ich die Vereinigung der beiden
> Lösungsmengen hin?
Wenn du die Mengen [mm] $\{ x \in \mathbb R | P(x) \}$ [/mm] und [mm] $\{ x \in \mathbb R | Q(x) \}$ [/mm] hast, wobei P und Q irgendwelche Bedingungen für x sind, dann ist ihre Vereinigung die Menge [mm] $\{ x \in \mathbb R | P(x) \vee Q(x) \}$, [/mm] wobei [mm] $\vee$ [/mm] "oder" bedeutet. Natürlich musst du bei konkreten P und Q richtig klammern, um die Reihenfolge der logischen Verknüpfungen klarzustellen.
Die Vereinigung der Mengen
[mm] $\{x\varepsilon\IR|x\ge1\wedge x\ge-\bruch{1}{3}\} [/mm] $
und
$ [mm] \{x\varepsilon\IR|x\le2\wedge x\le-\bruch{2}{3}\} [/mm] $
ist
[mm] $\{x\varepsilon\IR| (x\ge1\wedge x\ge-\bruch{1}{3}) \vee (x\le2\wedge x\le-\bruch{2}{3}) \} [/mm] $
Dabei lassen sich der beide Teilausdrücke noch vereinfachen ("x < a und x < b" lässt sich immer zu einem "x < irgendwas" vereinfachen).
Wenn du die Intervallschreibweisen schon kennst, dann kannst du die Lösung auch als Vereinigung von Intervallen angeben, die obigen Mengen sind $[1, [mm] \infty)$ [/mm] und [mm] $(-\infty, [/mm] -2/3]$. Ihre Vereinigung ist $[1, [mm] \infty) \cup (-\infty, [/mm] -2/3]$.
Gruß,
SirJective
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 So 13.08.2006 | | Autor: | hooover |
also hier sind meine schritte die zu den lösungsmengen führen
[mm] x+1\le2|x|
[/mm]
a) [mm] x+1\le2|x| [/mm] und [mm] x\le0
[/mm]
b) [mm] x+1\le2|x| [/mm] und x<0
zu a)
[mm] x+1\le2x
[/mm]
[mm] \bruch{x}{x}+\bruch{1}{x}\le2
[/mm]
[mm] 1+\bruch{1}{x}\le2
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x}\le1
[/mm]
[mm] x\ge1
[/mm]
zu b)
[mm] x+1\le-2x
[/mm]
[mm] \bruch{x}{x}+\bruch{1}{x}\le-2
[/mm]
[mm] 1+\bruch{1}{x}\le-2
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x}\le-3
[/mm]
[mm] 1\le-3x
[/mm]
[mm] x\ge-\bruch{1}{3}
[/mm]
das erstmal zum ersten ich mache den anderen jetzt schon weiter
wüßte nicht wo was flasch sien könnte
aber ich danke dir schonmal für die mühe
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> also hier sind meine schritte die zu den lösungsmengen
> führen
>
> [mm]x+1\le2|x|[/mm]
>
> a) [mm]x+1\le2|x|[/mm] und [mm]x\ge0[/mm]
>
> b) [mm]x+1\le2|x|[/mm] und x<0
>
> zu a)
>
> [mm]x+1\le2x[/mm]
>
> [mm]\bruch{x}{x}+\bruch{1}{x}\le2[/mm] !!!
Diesen Schritt darfst du so nicht ausführen, weil x = 0 sein kann. Du kannst aber einfach x auf beiden Seiten subtrahieren.
> zu b)
>
> [mm]x+1\le-2x[/mm]
>
> [mm]\bruch{x}{x}+\bruch{1}{x}\le-2[/mm] !!!
Hier darfst du durch x teilen, musst aber den Ungleichungszeichenwechel beachten, den das Teilen durch eine negative(!) Zahl erfordert.
> das erstmal zum ersten ich mache den anderen jetzt schon
> weiter
Was meinst du damit? Welchen anderen?
Die beiden Ungleichungen in
a) [mm]x+1\le2|x|[/mm] und [mm]x\ge0[/mm]
gehören zusammen, nur die x, die beide erfüllen, landen in dieser Lösungsmenge. Die Lösungen von b) sind davon erstmal völlig unabhängig.
Gruß,
SirJective
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 So 13.08.2006 | | Autor: | hooover |
hallo sirjective
ich habe das nochmal gemacht und komme jetzt auf diese Lösungsmengen
a)
[mm] \{x\varepsilon\IR|x\le1\wedge x\ge-\bruch{1}{3}\}
[/mm]
b)
[mm] \{x\varepsilon\IR|x\le2\wedge x\ge-\bruch{2}{3}\}
[/mm]
so und die Vereinigung
wäre dann
[mm] \{x\varepsilon\IR|x(x\le1\wedge x\ge-\bruch{1}{3})\vee (x\le2\wedge x\ge-\bruch{2}{3})\}
[/mm]
vielleicht kannst du mir nochmal an diesen beispiel zeigen wie man das schöner und einfachee aufschreib.
vielen dank gruß hooover
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Da muss ich dich leider nochmal bitten, deinen Rechenweg anzugeben, denn das Ergebnis ist genauso falsch wie vorhin. :(
Ich vermute, dass du irgendwie die vier Ungleichungen durcheinander bringst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:33 Mo 14.08.2006 | | Autor: | hooover |
hallo sirjective
erstmal vieln dank für die mühe
hier sind meine schritte die zu den lösungsmengen führen
für die aufgabe [mm] x+1\le2|x|\le2+x
[/mm]
nach den Ansatz [mm] a\le b\wedge b\le [/mm] c [mm] \Rightarrow a\le [/mm] c
[mm] x+1\le2|x|
[/mm]
a) [mm] x+1\le2|x| [/mm] und [mm] x\ge0
[/mm]
b) [mm] x+1\le2|x| [/mm] und x<0
zu a)
[mm] x+1\le2x [/mm] || -x
[mm] 1\le2x-x
[/mm]
[mm] x\ge1 [/mm]
zu b)
[mm] x+1\le-2x [/mm] || :(-x)
[mm] -1-\bruch{1}{x}\ge2 [/mm] || +1
[mm] -\bruch{1}{x}\ge3 [/mm] || *x
[mm] -1\ge3x [/mm] || :3
[mm] -\bruch{1}{3}\ge [/mm] x
[mm] \{x\varepsilon\IR|x\le1\wedge x\ge-\bruch{1}{3}\}
[/mm]
[mm] 2|x|\le2+x
[/mm]
a) [mm] 2x\le2+x [/mm] und [mm] x\le0
[/mm]
b) [mm] 2x\le2+x [/mm] und x<0
zu a)
[mm] 2x\le2+x [/mm] || -x
[mm] 2x-x\le2
[/mm]
[mm] x\le2
[/mm]
zub)
[mm] -2x\le2+x [/mm] || :(-x)
[mm] 2\ge-\bruch{2}{x}-1 [/mm] || +1
[mm] 3\ge-\bruch{2}{x} [/mm] || *x || :3
[mm] x\ge-\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] \{x\varepsilon\IR|x\le2\wedge x\ge-\bruch{2}{3}\}
[/mm]
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> für die aufgabe [mm]x+1\le2|x|\le2+x[/mm]
>
> [mm]x+1\le2|x|[/mm]
>
> a) [mm]x+1\le2|x|[/mm] und [mm]x\ge0[/mm]
>
> [mm]x+1\le2x[/mm] || -x
> [mm]1\le2x-x[/mm]
> [mm]x\ge1[/mm]
OK
Zusätzlich musst du noch die Ungleichung $x [mm] \ge [/mm] 0$ beachten, die hier aber durch $x [mm] \ge [/mm] 1$ automatisch erfüllt ist.
Lösungsmenge: [mm] $\{x | x \ge 1\}$
[/mm]
> b) [mm]x+1\le2|x|[/mm] und x<0
>
> [mm]x+1\le-2x[/mm] || :(-x)
Hier teilst du durch -x, das ist positiv, es erfolgt also kein Zeichenwechsel!
> [mm]-1-\bruch{1}{x}\ge2[/mm] || +1
> [mm]-\bruch{1}{x}\ge3[/mm] || *x
Hier hätte ein Zeichenwechsel erfolgen sollen.
> [mm]-1\ge3x[/mm] || :3
> [mm]-\bruch{1}{3}\ge[/mm] x
Durch die zwei Fehler stimmt das Ergebnis.
Einfacherer Weg:
[mm] $x+1\le-2x$
[/mm]
[mm] $3x+1\le0$
[/mm]
[mm] $3x\le-1$
[/mm]
[mm] $x\le-1/3$
[/mm]
Auch hier musst du die andere Ungleichung, $x < 0$, beachten, sie ist aber hier automatisch erfüllt.
Lösungsmenge: [mm] $\{x | x \le -1/3\}$
[/mm]
> [mm]\{x\varepsilon\IR|x\le1\wedge x\ge-\bruch{1}{3}\}[/mm]
Was soll das sein? :) Du wechselst die Ungleichungszeichen und verwendest [mm] $\wedge$ [/mm] statt [mm] $\vee$.
[/mm]
Du musst die beiden Teil-Lösungsmengen vereinigen, also erhältst du
[mm] $\{ x | x \ge 1 \vee x \le -1/3 \}$.
[/mm]
> [mm]2|x|\le2+x[/mm]
>
> a) [mm]2x\le2+x[/mm] und [mm]x\le0[/mm]
du meinst [mm] $x\ge0$
[/mm]
>
> zu a)
>
> [mm]2x\le2+x[/mm] || -x
> [mm]2x-x\le2[/mm]
> [mm]x\le2[/mm]
OK
Hier tritt die andere Ungleichung erstmals in Erscheinung: Die Lösungen sind alle x, die gleichzeitig [mm] $\ge0$ [/mm] und [mm] $\le2$ [/mm] sind.
Lösungsmenge: [mm] $\{ x | 0 \le x \le 2 \}$
[/mm]
> b) [mm]2x\le2+x[/mm] und x<0
>
> zub)
>
> [mm]-2x\le2+x[/mm] || :(-x)
> [mm]2\ge-\bruch{2}{x}-1[/mm] || +1
> [mm]3\ge-\bruch{2}{x}[/mm] || *x || :3
> [mm]x\ge-\bruch{2}{3}[/mm]
Selber Fehler wie oben.
[mm] $-2x\le2+x$
[/mm]
[mm] $0\le2+3x$
[/mm]
[mm] $-2\le3x$
[/mm]
[mm] $-2/3\le [/mm] x$
Auch hier ist die andere Ungleichung zu beachten.
Lösungsmenge: [mm] $\{ x | -2/3 \le x < 0 \}$
[/mm]
> [mm]\{x\varepsilon\IR|x\le2\wedge x\ge-\bruch{2}{3}\}[/mm]
Dieses Ergebnis ist sogar richtig:
Die Vereinigung der beiden Teil-Lösungsmengen ist
[mm] $\{ x | 0 \le x \le 2 \vee -2/3 \le x < 0 \}$
[/mm]
Das kann man zusammenfassen zu
[mm] $\{ x | -2/3 \le x \le 2 \}$
[/mm]
Nun hattest du zwei Ungleichungen, [mm]x+1\le2|x|[/mm] und [mm]2|x|\le2+x[/mm], die gleichzeitig erfüllt sein sollen, die gemeinsame Lösungsmenge ist also der Durchschnitt der einzelnen Lösungsmengen:
[mm] $\{ x | (x \ge 1 \vee x \le -1/3) \wedge (-2/3 \le x \le 2) \}$.
[/mm]
In Intervallen geschrieben ist das
$( [1, [mm] \infty) \cup (-\infty, [/mm] -1/2] ) [mm] \cap [/mm] [-2/3, 2]$
Indem du diese Intervalle aufzeichnest, oder ein Distributivgesetz anwendest, kannst du das noch umformen zu
$( [1, [mm] \infty) \cap [/mm] [-2/3, 2]) [mm] \cup ((-\infty, [/mm] -1/2] [mm] \cap [/mm] [-2/3, 2])$
$= [1, 2] [mm] \cup [/mm] [-2/3, -1/2]$
$= [mm] \{ x | (1 \le x \le 2) \vee (-2/3 \le x \le -1/2) \}$
[/mm]
Gruß,
SirJective
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