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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 So 11.11.2012 | | Autor: | NUT |
| Aufgabe | | Skizzieren Sie den Bereich der komplexe Zahlen für die [mm] |\bruch{1}{z}+\bruch{1}{\overline{z}}|\le1 [/mm] gilt. |
Mein bisheriges Vorgehen:
Erweitern
[mm] \gdw |\bruch{\overline{z}+z}{z\overline{z}}|\le1 \gdw |\bruch{2Re[z]}{|z|^2}|\le1 [/mm] mit z=x+ib [mm] |\bruch{2x}{x^2+y^2}|\le1.
[/mm]
1. Fall [mm] x\ge0: [/mm]
[mm] \bruch{x}{x^2+y^2}\le1/2
[/mm]
Da ich hier schon nicht weiter komme folgt nicht der zweite Fall.
In der Regel kann man bei Aufgaben diesen Typs immer eine Kreis- oder Ellipsengleichung erzeugen. Leider bekomme ich das hier nicht hin und ich weiß nicht, wie ich ohne Hilfsmittel den Bereich
[mm] y\ge\wurzel{x(2-x)} \vee y\le-\wurzel{x(2-x)} [/mm]
skizzieren soll.
Vielen Dank für eure Hilfe.
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Hallo NUT,
> Skizzieren Sie den Bereich der komplexe Zahlen für die
> [mm]|\bruch{1}{z}+\bruch{1}{\overline{z}}|\le1[/mm] gilt.
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> Mein bisheriges Vorgehen:
> Erweitern
> [mm]\gdw |\bruch{\overline{z}+z}{z\overline{z}}|\le1 \gdw |\bruch{2Re[z]}{|z|^2}|\le1[/mm]
> mit z=x+ib [mm]|\bruch{2x}{x^2+y^2}|\le1.[/mm]
Außer dass es wohl [mm] z=x+i\blue{y} [/mm] heißen sollte, liest sich eine Aneinanderreihung von Formeln oder (Un-)Gleichungen immer besser, wenn sie voneinander abgesetzt sind, z.B. durch ein Wort oder einen Doppelpunkt plus Freiraum oder oft sogar besser Zeilenumbruch.
also: mit $z=x+iy$ folgt [mm] \left|\bruch{2x}{x^2+y^2}\right|\le{1}.
[/mm]
> 1. Fall [mm]x\ge0:[/mm]
> [mm]\bruch{x}{x^2+y^2}\le1/2[/mm]
> Da ich hier schon nicht weiter komme folgt nicht der
> zweite Fall.
> In der Regel kann man bei Aufgaben diesen Typs immer eine
> Kreis- oder Ellipsengleichung erzeugen. Leider bekomme ich
> das hier nicht hin und ich weiß nicht, wie ich ohne
> Hilfsmittel den Bereich
> [mm]y\ge\wurzel{x(2-x)} \vee y\le-\wurzel{x(2-x)}[/mm]
> skizzieren soll.
Betrachten wir mal nur die Gleichung [mm] \bruch{x}{x^2+y^2}=\bruch{1}{2}.
[/mm]
[mm] \gdw\quad x^2-2x+y^2=0\quad\gdw\quad x^2-2x\blue{+1}+y^2\blue{-1}=0\quad\gdw\quad (x-1)^2+y^2=1.
[/mm]
Da hast Du Deine Kreisgleichung. 
Das Geheimnis der "fetten Null" [mm] \blue{+1-1} [/mm] heißt natürlich quadratische Ergänzung.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 So 11.11.2012 | | Autor: | NUT |
Ich gebe zu, dass ich geschmiert habe. Sorry!
Danke für die Lösung!
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