Zahlen teilen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Teile 100 in 2 Summanden deren Summe der Quadrate möglichst klein ist. |
Hallo,
ich weiß dass es die Zahlen 50 und 50 sind
aber wie kann ich das mit formeln beweisen?
also mit variablen oder sowas?
viele grüße
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Hallo alexmeier,
> Teile 100 in 2 Summanden deren Summe der Quadrate
> möglichst klein ist.
> Hallo,
>
> ich weiß dass es die Zahlen 50 und 50 sind
>
> aber wie kann ich das mit formeln beweisen?
>
> also mit variablen oder sowas?
Ja, genau, nenne die Summanden mal $a$ und $b$
Dann gilt
(1) $a+b=100$
und es soll
(2) [mm] $a^2+b^2$ [/mm] minimal sein
Löse in (1) mal nach $a$ auf und setze es in (2) ein, dann bekommst du in (2) eine Funktion $f(b)=....$, deren Minimum es zu bestimmen gilt.
Und wie das geht (Ableitung ....), das weißt du sicher ...
>
> viele grüße
>
LG
schachuzipus
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a=100-b
und eingesetzt: f(b): (100-b)² so?
und dannw weiß ich was du mit ableiten meinst
tut mir leid
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Hallo, du hast [mm] a^{2}+b^{2} [/mm] jetzt hast du für a den Term 100-b eingesetzt
[mm] (100-b)^{2}+b^{2}
[/mm]
[mm] 10000-200b+b^{2}+b^{2}
[/mm]
[mm] 2*b^{2}-200*b+10000
[/mm]
du kennst keine Ableitung, machen wir es anders, betrachte
[mm] f(b)=2*b^{2}-200*b+10000 [/mm] als Parabel, bestimme davon den Scheitelpunkt,
Steffi
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ich habe deine schrtitte nich so ganz verstande wie du das gemacht hast :(
kannst dus nochmal erklären alsow as dazu sagen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
Du hattest folgenden Term:
[mm] \red{a}^2+b^2
[/mm]
Jetzt setzt du dort einfach für [mm] \red{a}=100-b [/mm] ein
[mm] (\underbrace{\red{100-b}}_{=a})^2+b^2
[/mm]
Anschließend die Klammer binomisch entwickeln und alles was zusammenpasst dann zusammenfassen
[mm] f(b)=(100-b)^2+b^2=.......
[/mm]
Lg
Herby
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also ist der scheitelpunkt dann S(y/y²)
und wie komme ich dann auf die 50?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Herby |
Moin,
> also ist der scheitelpunkt dann S(y/y²)
> und wie komme ich dann auf die 50?
Den Scheitelpunkt erhältst du doch über die quadratische Ergänzung...
.... was war das noch
Lg
Herby
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ja wozu quadratische ergänzung wenn ich des einfach so in ne binomische formel setzen kann?
(100-b)²+b²
so war doch der eine schritt und das ist doch binomische formel
also b/b²
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mo 05.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
aber so ist es nicht in Scheitelform, d.h. du kannst den Scheitel nicht ablesen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mo 05.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Vielleicht schreibst du mal statt b x, dann hast du ne Parabel [mm] f(x)=y=(100-x)^2+x^2
[/mm]
die jetzt umformen, bis du die Scheitelform hast. Wo liegt der Scheitel dann? an der Stelle ist y am kleinsten, also eben genau die Summe der Quadrate.
was du mit [mm] (y,y^2) [/mm] als Scheitel meinst weiss ich nicht.
Aber wie man den Scheitel einer parabel findet hast du doch gelernt?
Gruss leduart
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ich weiß es nich könnt ihr mir helfen?
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Hallo, wir hatten ja gesagt, für b schreiben wir x
[mm] f(x)=(100-x)^{2}+x^{2}
[/mm]
[mm] f(x)=10000-200x+x^{2}+x^{2}
[/mm]
[mm] f(x)=2x^{2}-200x+10000
[/mm]
[mm] f(x)=2*(x^{2}-100x+5000)
[/mm]
[mm] f(x)=2*(x^{2}-100x+2500+2500)
[/mm]
[mm] x^{2}-100x+2500 [/mm] ist ein Binom
[mm] f(x)=2*((x-50)^{2}+2500)
[/mm]
[mm] f(X)=2*(x-50)^{2}+5000
[/mm]
jetzt kannst du den Scheitelpunkt ablesen S(50; 5000), interessant die dabei x-Koordinate,
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mo 05.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Teile 100 in 2 Summanden deren Summe der Quadrate
> möglichst klein ist.
> Hallo,
>
> ich weiß dass es die Zahlen 50 und 50 sind
>
> aber wie kann ich das mit formeln beweisen?
Hallo Alex,
die bisherigen Ansätze sind auch mir etwas zu kompliziert.
Die Summe von zwei Zahlen soll 100 sein.
Das geht mit 50+50, aber auch mit 47+53 oder mit 40+60 oder ...
Egal, wie groß du die beiden Zahlen wählst, sie sind IM DURCHSCHNITT 50. Sollte die eine etwas größer sein als 50, so ist die andere entsprechend kleiner als 50.
Man kann also sagen: Wenn a=50-x ist, dann ist b=50+x (x ist das Stück, um das sich a und b von 50 unterscheiden).
Soweit klar?
[mm] a^2+b^2 [/mm] ist dann [mm] (50-x)^2+(50+x)^2.
[/mm]
Bitte multipliziere diese beiden Summanden mit der binomischen Formel aus und vereinfache so weit wie möglich. dann hast du fast das gewünschte Ergebnis.
Gruß Abakus
>
> also mit variablen oder sowas?
>
> viele grüße
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