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| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und Aut(G) die Automorphismengruppe von G.
Z.z: Ist Z(G) trivial, so ist auch Z(Aut(G)) trivial. Gilt auch die Umkehrung? |
Hallo,
ich hab bei dieser Aufgabe überhaupt keine Ahnung, wie ich vorgehen soll.
Daher hoffe ich, dass mir jemand etwas helfen kann, das wäre voll nett.... 
Z(G) trivial, heißt doch, dass |Z(G)| = 1 ist, d.h. doch wiederum dass es nur ein Element g in G gibt, wo gh = hg [mm] \forall [/mm] h [mm] \in [/mm] G, oder? Dann ist g = [mm] hgh^{-1}. [/mm]
Wie kann ich den Beweis weiter führen, damit Z(Aut(G)) trivial folgt?
Aut(G) = { [mm] \phi: [/mm] G [mm] \to [/mm] G | G Isomorphismus } ist so definiert.
Ich weiß nicht genau, wie Z(Aut(G)) aussieht, so vielleicht?
Z(Aut(G)) = { [mm] \phi [/mm] | [mm] \phi \circ \psi [/mm] = [mm] \psi \circ \phi [/mm] , [mm] \forall \psi:G \to [/mm] G} ?
Ist [mm] \psi [/mm] auch ein Automorphismus?
Ich vermute mal, dass die Umkehrung nicht gilt, aber wie genau kann ich das zeigen?
Ich hoffe, ich bekomme Tipps, wie ich da vorgehen kann.
Vielen Dank schonma!!
Milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Mi 30.05.2007 | | Autor: | statler |
Hi Anna!
> Sei G eine Gruppe und Aut(G) die Automorphismengruppe von
> G.
> Z.z: Ist Z(G) trivial, so ist auch Z(Aut(G)) trivial. Gilt
> auch die Umkehrung?
> Ich vermute mal, dass die Umkehrung nicht gilt, aber wie
> genau kann ich das zeigen?
Das vermute ich auch. Wie ist das, wenn G die Kleinsche Vierergruppe V4 ist? Dann ist Aut(G) die S3. Hat letztere nicht das Zentrum {e}?
Man müßte mehr auswendig wissen...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:22 Fr 01.06.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Anna!
> Sei G eine Gruppe und Aut(G) die Automorphismengruppe von
> G.
> Z.z: Ist Z(G) trivial, so ist auch Z(Aut(G)) trivial.
Wenn [mm] \phi \in [/mm] Z(AutG)), dann ist doch [mm] \phi \circ \psi [/mm] = [mm] \psi \circ \phi [/mm] f. [mm] \forall \psi \in [/mm] Z(AutG))
Insbesondere muß [mm] \phi [/mm] dann mit allen inneren Automorphismen kommutieren. Also muß
[mm] a\phi(x)a^{-1} [/mm] = [mm] \phi(axa^{-1}) [/mm] = [mm] \phi(a)\phi(x)\phi(a^{-1}) [/mm] = [mm] \phi(a)\phi(x)\phi(a)^{-1} [/mm] sein f. [mm] \forall [/mm] a, x [mm] \in [/mm] G.
Wenn x ganz G durchläuft, durchläuft auch [mm] \phi(x) [/mm] ganz G, weil [mm] \phi [/mm] bijektiv ist, also kann ich auch schreiben
[mm] aga^{-1} [/mm] = [mm] \phi(a)g\phi(a)^{-1} [/mm] f. [mm] \forall [/mm] a, g
oder umgeformt
[mm] \phi(a)^{-1}aga^{-1}\phi(a) [/mm] = g
Wegen [mm] (a^{-1}\phi(a))^{-1} [/mm] = [mm] \phi(a)^{-1}a
[/mm]
heißt das aber
[mm] \phi(a)^{-1}a \in [/mm] Z(G), und das war {e}.
Also ist [mm] \phi(a) [/mm] = a f. [mm] \forall [/mm] a, also ist [mm] \phi [/mm] = id = e in Z(Aut(G)).
Einen schönen Gruß aus dem sonnigen HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Fr 01.06.2007 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo Dieter,
vielen Dank für deine Vervollständigung. Sie hat mir sehr geholfen.
Gruß, Anna
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