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Ich habe einen Satz und seinen Beweis gefunden, verstehe aber nicht, warum dies der Beweis zu dem Satz ist. Vielleicht kann mir das jemand erklären.
Satz: Für [mm] n\equiv1(mod [/mm] 4) ist [mm] \IZ[\wurzel{n}] [/mm] kein ZPE-Ring.
Beweis: [mm] x^{2}-x+\bruch{1-n}{4} \in \IZ[\wurzel{n}][x] [/mm] hat die Nullstelle [mm] \bruch{1+\wurzel{n}}{2} \in \IQ(\wurzel{n}) [/mm] \ [mm] \IZ[n].
[/mm]
Davor haben wir festgestellt, dass [mm] \IQ(\wurzel{n}) [/mm] ein Quotientenkörper von [mm] \IZ[\wurzel{n}] [/mm] ist.
Aber wieso ist nun der Beweis ein Beweis für den Satz? Gibt es irgendeinen Satz mit ZPE-Ringen und Nullstellen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Mo 21.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe einen Satz und seinen Beweis gefunden, verstehe
> aber nicht, warum dies der Beweis zu dem Satz ist.
> Vielleicht kann mir das jemand erklären.
> Satz: Für [mm]n\equiv1(mod[/mm] 4) ist [mm]\IZ[\wurzel{n}][/mm] kein
> ZPE-Ring.
> Beweis: [mm]x^{2}-x+\bruch{1-n}{4} \in \IZ[\wurzel{n}][x][/mm] hat
> die Nullstelle [mm]\bruch{1+\wurzel{n}}{2} \in \IQ(\wurzel{n})[/mm]
> \ [mm]\IZ[n].[/mm]
> Davor haben wir festgestellt, dass [mm]\IQ(\wurzel{n})[/mm] ein
> Quotientenkörper von [mm]\IZ[\wurzel{n}][/mm] ist.
> Aber wieso ist nun der Beweis ein Beweis für den Satz?
> Gibt es irgendeinen Satz mit ZPE-Ringen und Nullstellen?
ZPE-Ringe sind ganz-abgeschlossen (im Quotientenkoerper), und der obige Satz liefert ein Beispiel eines Elementes des Quotientenkoerpers, welches ganz ueber [mm] $\IZ[\sqrt{n}]$ [/mm] ist, aber nicht in [mm] $\IZ[\sqrt{n}]$ [/mm] liegt.
LG Felix
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Was heißt denn, ein Element ist ganz über den Ring, aber nicht in ihm? Heißt das, weil die Nullstelle nicht in [mm] \IZ[\wurzel{n}] [/mm] liegt, die Gleichung an sich aber schon im dazugehörigen Ring um x, kann die Voraussetzung nicht stimmen? Und was hat das mit dem Modulo zu tun? Irgendwie seh ich nicht durch ... Aber danke, dass jemand versucht es zu erklären ... Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:34 Di 22.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Was heißt denn, ein Element ist ganz über den Ring, aber
> nicht in ihm?
Na, was es bedeutet, das ein Element ganz ist, solltest du wissen. Eventuell habt ihr das ganze ja auch anders bezeichnet, aber ich kann leider nicht hellsehen wie es in eurer Vorlesung vorkam.
> Heißt das, weil die Nullstelle nicht in
> [mm]\IZ[\wurzel{n}][/mm] liegt, die Gleichung an sich aber schon im
> dazugehörigen Ring um x,
Ja (und es geht um Nullstellen im Quotientenkoerper). Und die Gleichung ist normiert.
> kann die Voraussetzung nicht stimmen?
Ja, weil aus ZPE-Ring folgt dass dies nicht der Fall sein kann.
> Und was hat das mit dem Modulo zu tun?
Was fuer ein Modulo? Ich sehe da nur eine Mengen-Differenz.
LG Felix
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In dem Satz ist der Fall doch auf [mm] n\equiv1(mod4) [/mm] eingegrenzt. Wozu braucht man diese Eingrenzung? Das sehe ich noch nicht ... Auch wenn der Satz sonst natürlich wenig Sinn machen würde, denn es gibt ja schon Fälle wo dies ein ZPE-Ring ist. Aber spielt diese Einschränkung im Beweis irgendeine Rolle?
Und danke, den Rest habe ich jetzt verstanden.
Lieben Gruß, Nora.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Di 22.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Nora
> In dem Satz ist der Fall doch auf [mm]n\equiv1(mod4)[/mm]
> eingegrenzt. Wozu braucht man diese Eingrenzung?
Die braucht man dafuer, dass [mm] $\frac{n - 1}{4}$ [/mm] eine ganze Zahl ist. Andernfalls haettest du keine normierte Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten.
LG Felix
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