ZGWS für Martingale < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm](Xn)_{n\in \IN}[/mm] unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsvariablen. Wir definieren rekursiv:[mm]
Y_{0} := 0,
Y_{n} := Y_{n-1} + X_{n}1_{Y_{n-1}>0} + sign(X_{n})1_{Yn-1\le0}, (n \in \IN \backslash 0) [/mm]
wobei [mm]sign(X_{n}) := 1_{X_{n}>0} - 1_{X_{n}<0}[/mm] das Vorzeichen von [mm]X_n[/mm] bezeichnet.
Zeigen Sie: Die Verteilung von [mm]\bruch{Y_n}{\sqrt{n}}[/mm] konvergiert für [mm]n\rightarrow\infty[/mm] schwach gegen die Standardnormalverteilung.
Hinweis: Es liegt nahe, den Zentralen Grenzwertsatz für Martingale zu verwenden. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe angefangen die einzelnen Vorraussetzungen des ZGWS für Martingale zu überprüfen. Die sind bei uns folgende:
1) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} X_{n}[/mm] konvergiere [mm]\mathbb{P}-f.s.[/mm] gegen eine reelwertige ZV X
2) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\sigma^{2}_{i}[/mm] sei [mm]\mathbb{P}-f.s.[/mm] endlich
3) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\sigma^{2}_{i} \rightarrow 1[/mm] in W'keit
4) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\mathbb{E}[(X_{i}-X_{i-1})^2, |X_{i}-X_{i-1}| >\varepsilon] \rightarrow 0[/mm] für [mm]n\rightarrow\infty[/mm]
Ich habe es bis jetzt leider nur geschaft zu Zeigen, dass der Prozess ein Martingal ist. Die mir bekannten Konvergenzsätze für Martingale scheinen hier nicht anwendbar zu sein. Hat jemand eine Idee???? Wäre super!
Herzlichen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Do 26.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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