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ZGS => Schwaches Gesetz ?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:52 Mo 21.10.2019
Autor: Jellal

Guten Abend!


Sei [mm] S_{n} [/mm] ~ [mm] B_{n,k} [/mm] eine Zufallsvariable.

Dann gilt das schwache Gesetz der grossen Zahlen (1):

[mm] \forall \epsilon [/mm] > 0: P( [mm] |\bruch{S_{n}}{n} [/mm] - p| [mm] \le \epsilon) \to [/mm] 1 for n [mm] \to \infty [/mm] .



Ausserdem der Zentrale Grenzwertsatz (2):

[mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IR: [/mm] P( [mm] \bruch{S_{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}} \le [/mm] z) [mm] \to \phi(z) [/mm] ,
wobei [mm] \phi(z) [/mm] die Verteilungsfunktion der Normalverteilung zu Mittelwert 0 und Standardabweichung 1 ist.


(1) besagt nun, dass jede noch so kleine Abweichung des arithmetischen Mittels vom Erwartungswert mit groesser werdendem n immer unwahrscheinlicher wird.

(2) besagt, dass die (genormte) Zufallsvariable [mm] S_{n} [/mm] fuer groesser werdende n immer besser durch die Normalverteilung beschrieben werden kann.

Mein Skript sagt, dass (1) eine triviale Folgerung aus (2) ist.
Kann mir jemand helfen, diese triviale Folgerung zu sehen?


vG.

Jellal


        
Bezug
ZGS => Schwaches Gesetz ?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 Mo 21.10.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ausserdem der Zentrale Grenzwertsatz (2):
>  
> [mm]\forall[/mm] z [mm]\in \IR:[/mm] P( [mm]\bruch{S_{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}} \le[/mm]
> z) [mm]\to \phi(z)[/mm] ,
>  wobei [mm]\phi(z)[/mm] die Verteilungsfunktion der Normalverteilung
> zu Mittelwert 0 und Standardabweichung 1 ist.

mach dir mal klar, dass die Aussage wahr bleibt, wenn du das [mm] $\le$ [/mm] durch ein $<$ ersetzt (das brauchen wir gleich)

Dann gilt:

[mm] $P\left(\left|\bruch{S_{n}}{n} - p\right| \le \varepsilon\right) [/mm] = [mm] P\left( -\varepsilon \le \bruch{S_{n}}{n} - p \le \varepsilon\right) [/mm] = [mm] P\left(\bruch{S_{n}}{n} - p \le \varepsilon\right) [/mm] - [mm] P\left(\bruch{S_{n}}{n} - p < -\varepsilon\right)$ [/mm]

Nun forme in den Klammern so um, dass dort links der Ausdruck aus (2) steht und überlege dir, was mit der rechten Seite passiert für $n [mm] \to \infty$. [/mm]
Dann steht da was von der Form [mm] $z(\ldots) [/mm] - [mm] z(\ldots) [/mm] = 1$

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
ZGS => Schwaches Gesetz ?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Mi 23.10.2019
Autor: Jellal

Hey Gono, vielen Dank fuer die Antwort!

> > Ausserdem der Zentrale Grenzwertsatz (2):
>  >  
> > [mm]\forall[/mm] z [mm]\in \IR:[/mm] P( [mm]\bruch{S_{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}} \le[/mm]
> > z) [mm]\to \phi(z)[/mm] ,
>  >  wobei [mm]\phi(z)[/mm] die Verteilungsfunktion der
> Normalverteilung
> > zu Mittelwert 0 und Standardabweichung 1 ist.
>  mach dir mal klar, dass die Aussage wahr bleibt, wenn du
> das [mm]\le[/mm] durch ein [mm]<[/mm] ersetzt (das brauchen wir gleich)

Hmm... das [mm] \le [/mm] kann durch ein < ersetzt werden, weil die reelle Zahl z keine endliche Wahrscheinlichkeit haben darf. Die Wkeit konvergiert gegen die Normalverteilung, und die hat fuer jede reelle Zahl das Mass 0. Daher darf es keine Rolle spielen, ob man [mm] \le [/mm] oder < schreibt?


> Dann gilt:
>  
> [mm]P\left(\left|\bruch{S_{n}}{n} - p\right| \le \varepsilon\right) = P\left( -\varepsilon \le \bruch{S_{n}}{n} - p \le \varepsilon\right) = P\left(\bruch{S_{n}}{n} - p \le \varepsilon\right) - P\left(\bruch{S_{n}}{n} - p < -\varepsilon\right)[/mm]
>  
> Nun forme in den Klammern so um, dass dort links der
> Ausdruck aus (2) steht und überlege dir, was mit der
> rechten Seite passiert für [mm]n \to \infty[/mm].
>  Dann steht da
> was von der Form [mm]z(\ldots) - z(\ldots) = 1[/mm]
>  

[mm] P\left(\bruch{S_{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}} \le \epsilon\sqrt{\bruch{n}{p(1-p)}}\right)- [/mm]
[mm] P\left(\bruch{S_{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}} < -\epsilon\sqrt{\bruch{n}{p(1-p)}}\right) [/mm]

Nach (2) dann und fuer n [mm] \to \infty [/mm] ist das [mm] \Phi\left(\epsilon\sqrt{\bruch{n}{p(1-p)}}\right) [/mm] - [mm] \Phi\left(-\epsilon\sqrt{\bruch{n}{p(1-p)}}\right) [/mm] = 1 - 0 = 1.

So richtig?

Danke schon mal!


Bezug
                        
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ZGS => Schwaches Gesetz ?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:15 Do 24.10.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Hmm... das [mm]\le[/mm] kann durch ein < ersetzt werden, weil die
> reelle Zahl z keine endliche Wahrscheinlichkeit haben darf.
> Die Wkeit konvergiert gegen die Normalverteilung, und die
> hat fuer jede reelle Zahl das Mass 0. Daher darf es keine
> Rolle spielen, ob man [mm]\le[/mm] oder < schreibt?

[ok]

> Nach (2) dann und fuer n [mm]\to \infty[/mm] ist das
> [mm]\Phi\left(\epsilon\sqrt{\bruch{n}{p(1-p)}}\right)[/mm] -
> [mm]\Phi\left(-\epsilon\sqrt{\bruch{n}{p(1-p)}}\right)[/mm] = 1 - 0

unsaubere Notation: Für [mm] n\to\infty [/mm] ist das [mm] $\Phi(\infty) [/mm] - [mm] \Phi(-\infty) [/mm] = 1 - 0 = 1$

Wenn du nicht an der Definition von (2) was verändern willst, hätte man auch (1) etwas modifizieren können:

Die Definition des schwachen Gesetzes der großen Zahlen lautet ja:
$ [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0: [mm] P\left(\left|\bruch{S_{n}}{n} - p\right| \le \epsilon\right) \to [/mm] 1$ for $n [mm] \to \infty [/mm] $

Mach dir mal klar, dass folgende Definitionen dazu Äquivalent sind (warum?):

$ [mm] \forall \epsilon \in \IQ^+: P\left(\left|\bruch{S_{n}}{n} - p\right| \le \epsilon\right) \to [/mm] 1$ for $n [mm] \to \infty [/mm] $

oder

$ [mm] \forall \epsilon \in \mathbb{I}^+: P\left(\left|\bruch{S_{n}}{n} - p\right| \le \epsilon\right) \to [/mm] 1$ for $n [mm] \to \infty [/mm] $

(wobei [mm] \mathbb{I}^+ [/mm] = [mm] \IR^+ \setminus \IQ^+, [/mm] mit [mm] \IR^+ [/mm] bzw [mm] \IQ^+ [/mm] seien die nichtnegativen reellen / rationalen Zahlen bezeichnet, dann sind [mm] \mathbb{I}^+ [/mm] entsprechend die nichtnegativen irrationalen Zahlen)


Nun kann man sich überlegen, dass für [mm] $\varepsilon \in \mathbb{I}^+$ [/mm] gilt, da nach Voraussetzung [mm] $\bruch{S_{n}}{n} [/mm] - p [mm] \in \IQ$: [/mm]
$ [mm] P\left(\left|\bruch{S_{n}}{n} - p\right| \le \varepsilon\right) [/mm] = [mm] P\left( -\varepsilon \le \bruch{S_{n}}{n} - p \le \varepsilon\right) [/mm] = [mm] P\left(\bruch{S_{n}}{n} - p \le \varepsilon\right) [/mm] - [mm] P\left(\bruch{S_{n}}{n} - p \le -\varepsilon\right) [/mm] $

Beachte, das der hintere Ausdruck nun auch ein [mm] $\le$ [/mm] enthält und man daher (2) direkt anwenden kann.



Gruß,
Gono

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ZGS => Schwaches Gesetz ?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Do 24.10.2019
Autor: Jellal


> Wenn du nicht an der Definition von (2) was verändern
> willst, hätte man auch (1) etwas modifizieren können:
>  
> Die Definition des schwachen Gesetzes der großen Zahlen
> lautet ja:
>  [mm]\forall \epsilon > 0: P\left(\left|\bruch{S_{n}}{n} - p\right| \le \epsilon\right) \to 1[/mm]
> for [mm]n \to \infty[/mm]
>  
> Mach dir mal klar, dass folgende Definitionen dazu
> Äquivalent sind (warum?):
>  
> [mm]\forall \epsilon \in \IQ^+: P\left(\left|\bruch{S_{n}}{n} - p\right| \le \epsilon\right) \to 1[/mm]
> for [mm]n \to \infty[/mm]
>  
> oder
>  
> [mm]\forall \epsilon \in \mathbb{I}^+: P\left(\left|\bruch{S_{n}}{n} - p\right| \le \epsilon\right) \to 1[/mm]
> for [mm]n \to \infty[/mm]
>  
> (wobei [mm]\mathbb{I}^+[/mm] = [mm]\IR^+ \setminus \IQ^+,[/mm] mit [mm]\IR^+[/mm] bzw
> [mm]\IQ^+[/mm] seien die nichtnegativen reellen / rationalen Zahlen
> bezeichnet, dann sind [mm]\mathbb{I}^+[/mm] entsprechend die
> nichtnegativen irrationalen Zahlen)

Ok, also wenn es für alle reelle [mm] \epsilon [/mm] gilt, muss es auch fuer alle Teilmengen von [mm] \IR [/mm] gelten. Und wenn es, zum Beispiel, füer alle rationalen [mm] \epsilon [/mm] gilt, dann muss es auch für alle [mm] \epsilon \in \IR [/mm] gelten. Gäbe es ein reelles [mm] \epsilon, [/mm] für das es nicht gälte, so könnte man zwei rationale Zahlen a und b mit [mm] a<\epsilon


> Nun kann man sich überlegen, dass für [mm]\varepsilon \in \mathbb{I}^+[/mm]
> gilt, da nach Voraussetzung [mm]\bruch{S_{n}}{n} - p \in \IQ[/mm]:
>  
> [mm]P\left(\left|\bruch{S_{n}}{n} - p\right| \le \varepsilon\right) = P\left( -\varepsilon \le \bruch{S_{n}}{n} - p \le \varepsilon\right) = P\left(\bruch{S_{n}}{n} - p \le \varepsilon\right) - P\left(\bruch{S_{n}}{n} - p \le -\varepsilon\right)[/mm]
>  
> Beachte, das der hintere Ausdruck nun auch ein [mm]\le[/mm] enthält
> und man daher (2) direkt anwenden kann.
>  

Ahh, verstehe. Das < wurde nun zu einem <=, weil die rationale Zahl sowieso nicht mehr [mm] =\epsilon [/mm] sein kann!

Welche Art des Beweises würdest du bevorzugen? Diesen oder den ersten Weg?

Vielen Dank =)


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ZGS => Schwaches Gesetz ?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Do 24.10.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ok, also wenn es für alle reelle [mm]\epsilon[/mm] gilt, muss es
> auch fuer alle Teilmengen von [mm]\IR[/mm] gelten.

Das ist eine Richtung des Beweises.

>Und wenn es, zum Beispiel, füer alle rationalen [mm]\epsilon[/mm] gilt, dann muss es

> auch für alle [mm]\epsilon \in \IR[/mm] gelten. Gäbe es ein
> reelles [mm]\epsilon,[/mm] für das es nicht gälte, so könnte man
> zwei rationale Zahlen a und b mit [mm]a<\epsilon
> die der Satz wieder gälte.

[ok]

> Wenn eine Folge aber, für
> wachsende n, von a und b von oben beschränkt wird, so muss
> sie auch von jedem [mm]\epsilon[/mm] zwischen a und b von oben
> beschränkt werden, das wäre ein Widerspruch.

Ok, hier bist du wieder schwamming.
Von welcher Folge redest du hier?
Wenn man es sauber aufschreibt, läuft es darauf hinaus, ja. Aber konkret bist du hier leider nicht.

Um ehrlich zu sein, hatte ich an dieses schöne Sandwich-Argument gar nicht gedacht, sondern ich hätte es über die Stetigkeit des Maßes gezeigt. Dein Beweis ist aber schöner und schneller.

> Ahh, verstehe. Das < wurde nun zu einem <=, weil die
> rationale Zahl sowieso nicht mehr [mm]=\epsilon[/mm] sein kann!

Korrekt.

> Welche Art des Beweises würdest du bevorzugen? Diesen oder
> den ersten Weg?

Das ist tatsächlich Geschmackssache.
Ich finde den Beweis über die Modifikation des schwachen Gesetzes hier schöner… ABER… das hat halt die Einschränkung, dass sie nur hier funktioniert, weil wir dabei ausgenutzt haben, dass die betrachtete ZV rational ist.
Dass geht natürlich nicht mehr, wenn wir eine stetige ZV betrachten, für die die Aussage allerdings auch gilt.

Gruß,
Gono

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