Wurzelziehen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:11 Mo 26.04.2010 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Man finde in [mm] (\IZ_7, [/mm] +, [mm] \cdot{}) [/mm] alle Zahlen die eine Wurzel haben. |
Hallo,
ich habe zuerst die Additionstafel und Multiplikationstafel für [mm] \IZ_7 [/mm] aufgestellt. Und wollte dann prüfen, welche Restklassen sich ergeben beim Teilen durch 7, hierbei kam als einzige Restklasse mit Wurzel [4] heraus.
Aber ich glaube nicht, das dies stimmt.
somit stellt sich mir die Frage: Wie das Wurzelziehen in [mm] \IZ_n [/mm] geht? bzw. Wie ich überprüfen kann, ob eine Zahl überhaupt eine Wurzel in [mm] \IZ_n [/mm] hat?
Ich habe nur einen Wikipedia-Artikel gefunden, der behandelt dazu das Legendre-Symbol. Wenn ich nun beispielsweise für 3 prüfen will, ob dies in [mm] \IZ_7 [/mm] eine Wurzel hat:
[mm] \bruch{3}{7} \equiv 1^{\bruch{7-1}{3}} [/mm] mod 7
[mm] \bruch{3}{7} \equiv 1^{3} [/mm] mod 7
Was sagt mir das?
Vor allem würde mich aber interessieren, wie das Wurzelziehen in [mm] \IZ_n [/mm] geht? Dafür muss n wahrscheinlich eine Primzahl sein, ansonsten ist [mm] \IZ_n [/mm] keine Gruppe.
Gruß
itse
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> Man finde in [mm](\IZ_7,[/mm] +, [mm]\cdot{})[/mm] alle Zahlen die eine
> Wurzel haben.
> Hallo,
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> ich habe zuerst die Additionstafel und Multiplikationstafel
> für [mm]\IZ_7[/mm] aufgestellt. Und wollte dann prüfen, welche
> Restklassen sich ergeben beim Teilen durch 7, hierbei kam
> als einzige Restklasse mit Wurzel [4] heraus.
Hallo,
ich verstehe nicht recht, was Du tust.
Ich würde einfach mal total plump [mm] [0]^2, [1]^2,...,[6]^2 [/mm] ausrechnen.
Die Restklassen, die dabei herauskommen, haben eine Wurzel, die anderen halt nicht.
Gruß v. Angela
>
> Aber ich glaube nicht, das dies stimmt.
>
> somit stellt sich mir die Frage: Wie das Wurzelziehen in
> [mm]\IZ_n[/mm] geht? bzw. Wie ich überprüfen kann, ob eine Zahl
> überhaupt eine Wurzel in [mm]\IZ_n[/mm] hat?
>
> Ich habe nur einen Wikipedia-Artikel gefunden, der
> behandelt dazu das Legendre-Symbol. Wenn ich nun
> beispielsweise für 3 prüfen will, ob dies in [mm]\IZ_7[/mm] eine
> Wurzel hat:
>
> [mm]\bruch{3}{7} \equiv 1^{\bruch{7-1}{3}}[/mm] mod 7
>
> [mm]\bruch{3}{7} \equiv 1^{3}[/mm] mod 7
>
> Was sagt mir das?
>
> Vor allem würde mich aber interessieren, wie das
> Wurzelziehen in [mm]\IZ_n[/mm] geht? Dafür muss n wahrscheinlich
> eine Primzahl sein, ansonsten ist [mm]\IZ_n[/mm] keine Gruppe.
>
> Gruß
> itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Mo 26.04.2010 | | Autor: | itse |
Hallo angela,
> Hallo,
>
> ich verstehe nicht recht, was Du tust.
>
> Ich würde einfach mal total plump [mm][0]^2, [1]^2,...,[6]^2[/mm]
> ausrechnen.
> Die Restklassen, die dabei herauskommen, haben eine
> Wurzel, die anderen halt nicht.
>
> Gruß v. Angela
[mm] [0]\cdot{}[0]=[0] [/mm]
[mm] [1]\cdot{}[1]=[1] [/mm]
[mm] [2]\cdot{}[2]=[4] [/mm]
[mm] [3]\cdot{}[3]=[2] [/mm]
[mm] [4]\cdot{}[4]=[2] [/mm]
[mm] [5]\cdot{}[5]=[4]
[/mm]
[mm] [6]\cdot{}[6]=[1] [/mm]
Somit hätten die Restklassen 0, 1, 2 und 4 eine Wurzel.
Mich würde dennoch interessieren, wie das mit dem Wurzelziehen in [mm] \IZ_n [/mm] geht?
Beispielsweise wenn ich die Wurzel von 7 in [mm] \IZ_9 [/mm] will.
Vielen Dank
itse
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Mo 26.04.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Mich würde dennoch interessieren, wie das mit dem
> Wurzelziehen in [mm]\IZ_n[/mm] geht?
> Beispielsweise wenn ich die Wurzel von 7 in [mm]\IZ_9[/mm] will.
Das kannst du z. B. auch durch Aufstellen der Liste wie oben erledigen. Etwas eleganter ist es, daß eine Wurzel mod 9 insbesondere eine Wurzel mod 3 ist, und 7 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 3. Also suchst du erstmal die Wurzeln von 1 mod 3, das sind 1 und 2. Welche Zahlen werden daraus mod 9? Aus 1 wird 1, 4 und 7. Die mußt du jetzt untersuchen, und dann noch entsprechend für 2 mod 3. Bei 9 bringt das noch nicht viel, bei 729 schon.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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