Wurzelrechnen ohne TR < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo!!
Die Aufgabenstellung lautet:
Bestimmen Sie rationale Näherungswerte für die folgenden Wurzeln ohne die Verwendung der Wurzel- oder exponetioalfunktion des Taschenrechners.
Berechnen Sie dazu mindestens zwei dezimalstellen.
A) [mm] \wurzel{49} [/mm] dass das 7 ist weis ich selber aber in der aufgabe kommt es ja nicht auf das ergebnis an sondern auf den rechenweg.
B) wäre [mm] \wurzel{490} [/mm] usw....
Könnt ihr mir ein paar Gedankenansätze geben wie ich diese Aufgabe "manuell" lösen kann.
danke
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
|
|
| |
|
Hallo einekleine83,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
schön dass du zu uns gefunden hast.
>
> Hallo!!
> Die Aufgabenstellung lautet:
> Bestimmen Sie rationale Näherungswerte für die folgenden
> Wurzeln ohne die Verwendung der Wurzel- oder
> exponetioalfunktion des Taschenrechners.
> Berechnen Sie dazu mindestens zwei dezimalstellen.
>
> A) [mm]\wurzel{49}[/mm] dass das 7 ist weis ich selber aber in der
> aufgabe kommt es ja nicht auf das ergebnis an sondern auf
> den rechenweg. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Da gibt es wohl nichts zu nähern, weil [mm] $7^2 [/mm] = 49$ unmittelbar richtig ist.
> B) wäre [mm]\wurzel{490}[/mm] usw....
Unter usw. kann ich mir leider nicht so genau etwas vorstellen; soll das mit Vielfachen von Faktor 10 weiter gehen?
> Könnt ihr mir ein paar Gedankenansätze geben wie ich diese
> Aufgabe "manuell" lösen kann.
Es gilt: [mm] $\wurzel{490} [/mm] = [mm] \wurzel [/mm] {49*10} = [mm] 7*\wurzel{10}$; [/mm] also teilweise Wurzelziehen.
Bleibt die Frage, wie man [mm] \wurzel{10} [/mm] annähern kann.
Da kann man sich nun überlegen, zwischen welchen Quadratzahlen $10$ wohl liegt.
Denn dann wird [mm] \wurzel{10} [/mm] wohl zwischen den entsprechenden Wurzeln liegen, oder?
$9<10<16 [mm] \Rightarrow 3<\wurzel{10}<4$
[/mm]
Jetzt prüfst du, ob die Quadrate von $3,1 ; 3,2; ... 3,5; 3,6$ größer oder kleiner als 10 sind.
Dann wählst du die größte, die gerade noch unter $10$ liegt, als linke neue Grenze und die kleinste, die haarscharf über $10$ liegt als neue rechte Grenze.
Das darfst du ja auch mit dem TR machen.
Dann hast du die "richtige" Wurzel schon auf die erste Stelle hinter dem Komma bestimmt.
Dieses Verfahren kannst du fortsetzen und die zweite Stelle entsprechend bestimmen.
Zeigst du uns mal, wie's weiter geht?
|
|
|
| |
|
Neben der Bestimmung der Wurzel durch Intervallschachtellung (das hat dir informix richtig erklärt), gibt es noch das sogenannte Heronverfahren, dass dir in weniger Schritten einen genaueren Wert für die Wurzel ergibt.
Für die Bestimmung von [mm] \wurzel{a} [/mm]gilt folgende Formel:
[mm] x_{i+1} = \bruch {1}{2}*(x_i + \bruch {a}{xi}) [/mm]
Das heißt nun folgendes:
Man startet mit einem belibigen Wert [mm] x_0 [/mm] ,der möglichst nahe an der gesuchten Wurzel liegt. Bei [mm] \wurzel{10} [/mm] zum Beispiel 3.
Diesen Wert setzt man dann in die Formel ein:
[mm] x_1 = \bruch{1}{2}*(3+\bruch{10}{3})= 3,166666 [/mm]
Es gilt nun immer, dass [mm] x_1 [/mm] näher an dem gesuchten Wert für [mm] \wurzel{10} [/mm] ist als [mm] x_0 [/mm] und ensprechend ist [mm] x_2 [/mm] noch genauer als [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] genauer als [mm] x_2 [/mm] ...
[mm] x_2 = \bruch{1}{2}*(3,166666+\bruch{10}{3,166666})= 3,162281[/mm]
[mm] x_3 = \bruch{1}{2}*(3,162281+\bruch{10}{3,162281})= 3,162278[/mm]
[mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] stimmen jetzt bereits in 4 Nachkommastellen überein. Das heißt also, dass man durch das Heronverfahren in nur 3 Schritten [mm] \wurzel {10} = 3,1622... [/mm] bestimmen kann!
Den Beweis das Verfahren kann ich dir hier leider nicht liefern.
Gruß Samuel
|
|
|
|
