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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 So 13.06.2010 | | Autor: | PeterXX |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Aufgabe:
[mm]\bruch {2+x}{x-1} = \bruch {3+2x}{x+1} -1 [/mm]
Nach Umformen ergibt sich (Multiplikation mit (x+1) und mit (x-1) )
[mm] x^2 [/mm] +3x+2= [mm] x^2+x-2
[/mm]
x = - 2
Jetzt kommt mein zweiter Lösungsweg mit einer Frage:
Rechte Seite wird auf den gemeinsamen Nenner (x+1) gestellt, damit ergibt sich:
[mm]\bruch {2+x}{x-1} = \bruch {3+2x}{x+1} -1 [/mm]
[mm]\bruch {2+x}{x-1} = \bruch {3+2x-x-1}{x+1} [/mm]
[mm]\bruch {2+x}{x-1} = \bruch {x+2}{x+1} [/mm]
Jetzt teile ich linke und rechte Seite durch (x+2) und erhalte den sinnlosen Ausdruck:
[mm]\bruch {1}{x-1} = \bruch {1}{x+1} [/mm]
x + 1 = x -1
0 = - 2
Ich habe nicht durch 1 oder -1 geteilt, denn 1 und -1 gehören nicht zum Definitionsbereich.
Was habe ich hier falsch gemacht?
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Hallo Peter,
da stimmt wohl mehreres nicht:
> [mm]\bruch {2+x}{x-1} = \bruch {3+2x}{x+1} -1[/mm]
>
> Nach Umformen ergibt sich (Multiplikation mit (x+1) und mit
> (x-1) )
>
> [mm]x^2[/mm] +3x+2= [mm]x^2+x-2[/mm]
> x = - 2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt kommt mein zweiter Lösungsweg mit einer Frage:
> Rechte Seite wird auf den gemeinsamen Nenner (x+1)
> gestellt, damit ergibt sich:
>
> [mm]\bruch {2+x}{x-1} = \bruch {3+2x}{x+1} -1[/mm]
>
> [mm]\bruch {2+x}{x-1} = \bruch {3+2x-x-1}{x+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch {2+x}{x-1} = \bruch {x+2}{x+1} [/mm]
>
> Jetzt teile ich linke und rechte Seite durch (x+2) und
> erhalte den sinnlosen Ausdruck:
>
> [mm]\bruch {1}{x-1} = \bruch {1}{x+1}[/mm]
>
> x + 1 = x -1
>
> 0 = - 2
>
> Ich habe nicht durch 1 oder -1 geteilt, denn 1 und -1
> gehören nicht zum Definitionsbereich.
> Was habe ich hier falsch gemacht?
Du hast durch (x+2) geteilt. Dabei musst du ausschließen, dass x+2=0 ist (Fallunterscheidung)! Und wie Du aus der ersten Rechnung ja schon weißt, ist dies hier tatsächlich eine entscheidende Einschränkung.
Wenn man aber nicht durch (x+2) teilen darf, dann bleibt einem wieder nur das Multiplizieren der Nenner, und man kommt auf das gleiche Ergebnis wie vorher.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Mo 14.06.2010 | | Autor: | PeterXX |
Danke für den Hinweis "Falluntersuchung". Ich meine jedoch, das Wort "Falluntersuchung" ist nicht ganz richtig, aber ein guter Denkanstoß. Mein Fehler ist, dass ich nicht erkannt habe, dass in der Zeile
[mm]$ \bruch {2+x}{x-1} = \bruch {x+2}{x+1} $[/mm]
, wenn x+2=0 ist, im Zähler links und rechts 0 steht, und somit die Gleichung 0 = 0 eine wahre Aussage liefert und x= - 2 eine Lösung ist, und damit auch durch (x+2) nicht geteilt werden darf.
Grüße PeterXX
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