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Wurzel für Matrizen konkav: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:43 Do 10.05.2012
Autor: eps

Aufgabe
Sei [mm] 0\le \alpha, \lambda \le [/mm] 1. Dann ist die funktion f(t) = [mm] t^{1-\alpha} [/mm] konkav und es gilt [mm] f(\lambda [/mm] A [mm] +(1-\lambda) [/mm] B) [mm] \ge \lambda [/mm] f(A) [mm] +(1-\lambda) [/mm] f(B).

das soll auch für Matrizen A und B gelten. Sind A und B kommutativ, dann lassen sie sich mit derselben Transformationsmatrix diagonalisieren die zu zeigende Ungleichung reduziert sich auf
[mm] (\lambda D_A+(1-\lambda)D_B)^{1-\alpha}\ge\lambda D_A^{1-\alpha}+(1-\lambda)D_B^{1-\alpha} [/mm]
Aber wie zeige ich das auch im allgemeinen Fall???

        
Bezug
Wurzel für Matrizen konkav: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:55 Do 10.05.2012
Autor: fred97


> Sei [mm]0\le \alpha, \lambda \le[/mm] 1. Dann ist die funktion f(t)
> = [mm]t^{1-\alpha}[/mm] konkav und es gilt [mm]f(\lambda[/mm] A [mm]+(1-\lambda)[/mm]
> B) [mm]\ge \lambda[/mm] f(A) [mm]+(1-\lambda)[/mm] f(B).
>  das soll auch für Matrizen A und B gelten. Sind A und B
> kommutativ, dann lassen sie sich mit derselben
> Transformationsmatrix diagonalisieren die zu zeigende
> Ungleichung reduziert sich auf
> [mm](\lambda D_A+(1-\lambda)D_B)^{1-\alpha}\ge\lambda D_A^{1-\alpha}+(1-\lambda)D_B^{1-\alpha}[/mm]
>  
> Aber wie zeige ich das auch im allgemeinen Fall???


Vielleicht kann ich Dir helfen, vielleicht aber auch nicht. Zuvor 2 Fragen:

1. Eine Ordnung " [mm] \le [/mm] "  ist i.a. nur auf der Menge der symmetrischen (bzw. hermiteschen) Matrizen möglich:

              A [mm] \le [/mm] B : [mm] \gdw [/mm] B-A ist positiv semidefinit.

Sind also Deine Matrizen sym. ? (oder herm.) ?

Da Du von simultaner Diagonalisierung sprichst, vermute ich, dass es sich um sym. (herm.) Matrizen handelt.

2. Du setzt Matrizen in Funktionen ein. Wie das geht , ist mir bekannt. Nur:

    es gibt nicht nur einen Funktionalkalkül !

Also: wie habt Ihr f(A) def. , und welche Funktionen f sind zulässig ?

FRED

2.


Bezug
                
Bezug
Wurzel für Matrizen konkav: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Do 10.05.2012
Autor: eps

also die matrizen sind in jedem fall positiv definit - müssen sie symmetrisch sein, damit man [mm] A\le [/mm] B sagen kann? dann setze ich auch symmetrisch voraus...

> es gibt nicht nur einen Funktionalkalkül !
>  
> Also: wie habt Ihr f(A) def. , und welche Funktionen f sind
> zulässig ?

Mir ist nicht ganz klar, was du damit meinst... [mm] f(A)=A^{1-\alpha}, [/mm] also auf Matrizen bezogen zieht man die Wurzel, indem man diagonalisiert und [mm] A^{1-\alpha}=S^T D_A^{1-\alpha}S [/mm] ist.


Bezug
        
Bezug
Wurzel für Matrizen konkav: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Mo 14.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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